ウィグリングの座屈モデル｜TiNとWdCのマスク応力

ウィグリング（line wiggling）とは、エッチングで掘った細い線が、上から見て横に波打つ変形を指す。原因は線の上に載ったハードマスクの圧縮応力だ。圧縮応力を持つ膜は、本来の長さより押し縮められた状態にあり、伸びたがっている。しかし下の壁に貼り付いているので、まっすぐのままでは伸びられない。そこで線が左右にくねり、道のりを長くして伸びた分を逃がす。これは柱が座屈するのと同じ力学で、ピッチが詰まって線が細るほど急に起きやすくなる。

本稿の簡易モデルでは、壁の高さとマスクの厚さが同じなら、ウィグリングを起こさずに耐えられる圧縮応力の大きさは線幅の2乗に比例する。線幅が半分になると、許せる圧縮応力は4分の1まで下がる。微細化の途中でTiNマスクが急に使いにくくなり、WdC（タングステンドープドカーボン）が検討される理由の一つがこれだ。WdCは、成膜時の応力をゼロや引張側に置き、マスクを薄くできれば、押す力そのものを減らせる。材料ごとの比較はTiNマスクのウィグリングとWdCにまとめた。

本稿では膜応力の符号を、圧縮を−（マイナス）、引張を＋（プラス）で書く。名前は膜が置かれた状態を表す。圧縮応力の膜は基板に押し縮められているので、ばねを押し縮めたときと同じく伸びようとする。引張応力の膜は引き伸ばされているので、縮もうとする。ウィグリングを起こすのは伸びようとするマイナス側の圧縮応力で、マイナスが大きいほど危ない。応力・ヤング率・単位の基礎は膜応力とヤング率の基礎にまとめた。

マスクの圧縮応力が、柔らかい線を横へ座屈させる

配線工程では、低誘電率膜（low-k）に溝を掘り、溝と溝の間に細い壁を残す。最先端のlow-kは微細な空孔を含む多孔質のSiOCHで、ヤング率（伸び縮みのしにくさ）が数GPaと小さい。その上に、ヤング率が数百GPaのTiNのような硬いマスクが載る。

壁の根元は下の層とつながっていて動かない。動けるのは上端だけだ。マスクは伸びたがっているが、線の両端の位置は変わらない。同じ距離のあいだで長さを稼ぐには、まっすぐな線をくねらせるしかない。2GPaの圧縮応力を持つTiN（ヤング率約445GPa）なら、伸びたい量は約0.45%で、長さ1µmあたり約4.5nmになる。

くねる向きは上下ではなく左右だ。上下に波打つには、壁を縦に伸び縮みさせる必要があり、これは硬い。左右なら、厚さが線幅しかない薄い壁を横へたわませるだけで済む。そのため、線に沿って断面を順に見ると、上端が左へ寄る所、まっすぐな所、右へ寄る所が繰り返す。下の図のように、根元を支点に定規を横へしならせる動きが、線の長さ方向に波として並ぶ。線が細いほど壁は薄く、横へしなりやすいので、ウィグリングは急に出やすくなる。

CEA-Letiと仏CNRSのグループは2007年に、この壁の波打ちを座屈で説明した¹。波打ちが出たのは、マスクの応力が−2GPaよりマイナス側（圧縮2GPa超）で、low-kのヤング率が2GPaを下回り、壁の高さが230nmを超える条件だった。マスクに蓄えられたひずみエネルギーが、壁が曲がることで解放される。

根元は動かず、上端だけが線に沿って左・まっすぐ・右と交互にずれる。上から見るとこれが波になる。

同じグループの2014年の研究は、有限要素法で座屈の起こりやすさを計算し²、TiNの応力と厚さ、線の幅と高さ、材料のヤング率が効くことを実験と照合した。Lam ResearchのDelgadinoも2011年のAVSで、エネルギーの釣り合いからウィグリングの発生条件を予測するモデル³を示し、ピッチが狭いほど低い縦横比でウィグリングが始まると報告した。同じ発表は、加工の最後に条件を満たしていても、エッチングの途中で一度波打って形が崩れることがあると指摘している。そのため、加工後の断面だけでウィグリングの有無を判断すると見逃す。

弾性床上のはりで見ると、許せる圧縮応力の大きさは線幅の2乗で決まる

これらの研究を、手で計算できる形に縮めると次のようになる。本稿の簡易モデルでは、圧縮されたマスクを1本のはり、下の壁を横向きのばね（弾性床）と見なす。そのため、どの量を動かせば効くかを1本の式で比べられる。

マスクを押す力は、圧縮応力の大きさ $\sigma\times$ 線幅 $w\times$ マスクの厚さ $t$ になる。
マスクが横に曲がりにくい度合いは、マスクのヤング率と厚さ、線幅の3乗に比例する。
壁が横に倒れにくい度合いは、壁のヤング率と線幅の3乗に比例し、高さの3乗に反比例する。

弾性床上のはりが座屈する力の公式に当てはめると、ウィグリングを起こさない限界の応力 $\sigma_\mathrm{c}$ は次の式になる。 $\sigma_\mathrm{c}$ は圧縮応力の大きさで、膜の応力が $-\sigma_\mathrm{c}$ よりマイナス側に入るとウィグリングが始まる。壁は上端が自由に回る片持ち板として扱った。実際にはマスクが上端の回転を抑えるので壁は最大4倍硬くなり、限界応力は最大2倍まで上がる。

壁のヤング率2GPa、TiNのヤング率445GPa、マスク厚45nmと置いた計算。縦軸は圧縮応力の大きさで、曲線より上（よりマイナス側）でウィグリングする。

式の記号は、 $w$ が線幅、 $t$ がマスクの厚さ、 $h$ が壁の高さ、 $E_\mathrm{d}$ が壁（low-k）のヤング率、 $E_\mathrm{m}$ がマスクのヤング率だ。読み取れる傾向は4つある。

壁の高さとマスクの厚さを変えずに線幅を半分にすると、許せる圧縮応力の大きさは4分の1になる。高さも線幅に比例して縮めれば、約0.7倍にとどまる。
壁を高くすると、許せる圧縮応力の大きさは高さの1.5乗に反比例して下がる。
壁が柔らかいほど下がり、許せる圧縮応力の大きさは $E_\mathrm{d}$ の平方根に比例する。
マスクを薄くすると上がり、許せる圧縮応力の大きさは $t$ の平方根に反比例する。

Darnonらの閾値を式に入れると、結果は観測と矛盾しない。壁のヤング率2GPa、高さ230nm、マスクの応力−2GPa（圧縮2GPa）に、スパッタTiN膜で報告された最大値の約445GPaと⁴、仮定したマスク厚45nmを入れると、限界の線幅は約74nmになる。Darnonらが波打ちを見たのは100nm未満の線だった。同じ式で、28nmピッチの線（幅14nm、高さ100nm）では、限界は約−0.25GPa（圧縮0.25GPa）で、これよりマイナス側でウィグリングする。だから、ピッチを詰めた世代で同じTiNが突然使えなくなる。

Delgadinoの「ピッチが狭いほど低い縦横比で始まる」という結果も、この式から出てくる。限界の高さを線幅で割った縦横比は、線幅の3分の1乗に比例して小さくなるからだ。モデルが扱わないのは、加工中に増える応力と、マスク表面の粗さの効果である。そのため、TiNの評価ではこの2つを実測で補う必要があり、後の節のTiNの研究がまさにそれを測っている。

限界応力の式は材料力学の2つの公式から出る

式は、片持ちはりのたわみの公式と、弾性床上のはりの座屈の公式を組み合わせて出す。使う量は、マスクの応力 $\sigma$ と厚さ $t$ 、線幅 $w$ 、壁の高さ $h$ 、2つのヤング率 $E_\mathrm{m}$ と $E_\mathrm{d}$ だけだ。

導出過程と根拠を開く（5段の式変形）

① マスクを押す力。 力は応力×断面積なので、線1本のマスクにかかる圧縮力は $P=\sigma\times w\times t$ になる。ここで $\sigma$ は圧縮応力の大きさ（正の数）だ。

② マスクの横方向の曲げにくさ。 長方形断面のはりの曲げにくさは、ヤング率×断面二次モーメントで表す。マスクは横（線幅の方向）へ曲がるので、断面二次モーメントは $t\times w^3\div12$ になり、曲げにくさは $EI=E_\mathrm{m}\times t\times w^3\div12$ となる。

③ 壁のばねの強さ（ばね定数）。 壁を、高さ $h$ ・厚さ $w$ の板が根元で固定された片持ちはりと見る。先端に力 $F$ をかけた片持ちはりのたわみは $\delta=F\times L^3\div(3\times E\times I)$ だ⁵。線の長さ1あたりの壁では $L=h$ 、 $I=w^3\div12$ なので、上端を横へ押したときのばね定数は、 $k=F\div\delta=3\times E_\mathrm{d}\times(w^3\div12)\div h^3=E_\mathrm{d}\times w^3\div(4\times h^3)$ になる。式の「4」は、この3と12から出てくる。

④ ばねに支えられたはりが座屈する力。 弾性床の上の長いはりが座屈する力は、曲げとばねに蓄えられるエネルギーと、押す力がする仕事の釣り合い（レイリー商⁶）で求まる。はりの横ずれを波長 $\lambda$ の正弦波と置くと、押す力は $F=EI\times(2\pi\div\lambda)^2+k\times(\lambda\div2\pi)^2$ になる。第1項は波が短いほど、第2項は波が長いほど大きい。 $F$ が最小になる波長で座屈が起き、そのとき $F=2\times\sqrt{k\times EI}$ となる。

⑤ 力の釣り合いを応力について解く。 ①の力 $P$ が④の座屈力に達すると、ウィグリングが始まる。 $\sigma\times w\times t=2\times\sqrt{k\times EI}$ に②と③を代入して整理すると、 $\sigma_\mathrm{c}=w^2\times\sqrt{E_\mathrm{d}\times E_\mathrm{m}\div(12\times t\times h^3)}$ が得られる。

④の波長は $2\pi\times(E_\mathrm{m}\times t\times h^3\div(3\times E_\mathrm{d}))$ の4乗根で、図の条件では1.5〜2.8µmになる。壁の高さよりずっと長いので、壁をばねの列と見なす近似が成り立つ。③で壁の上端を自由に回る扱いにした点は、前の節で書いたとおり限界応力を最大2倍低く見積もる側に働く。図の縦軸の上限4GPaは表示範囲で、曲線の各点はこの式に線幅を入れて計算した値だ。

TiNは、成膜時の応力を下げてもプラズマで圧縮側へ戻る

TiNの応力は成膜条件で大きく変わる。28nmピッチの多孔質SiOCHをEUVでパターニングして加工した2023年の評価では⁷、PEALDで作ったTiNの応力が−3.6GPa（圧縮）から＋0.2GPa（引張）まで振れた。スパッタで作ったTiNは＋0.1GPaだった。

マスクをプラズマに当てない流れでは、低応力のTiNでウィグリングを防げた。ところが通常の配線工程のようにプラズマに当てると、すべてのTiNで応力がマイナス側（圧縮側）へ動き、成膜時に＋0.1GPa（わずかに引張）だったスパッタTiNでもウィグリングした。動く量は成膜直後の応力と相関しなかった。上のモデルでは、14nm幅の線は応力が約−0.25GPaよりマイナス側に入るとウィグリングする。成膜時に＋0.1GPaでも、プラズマで0.35GPa以上マイナス側へ動けば限界を越える。そのため、TiNの膜選びは成膜直後の応力より、プラズマ後の応力で評価する必要がある。

2025年の続報は⁸、もう一つの効果を見つけた。プラズマでマスク表面が荒れた試料では、ウィグリングが起きなかった。3次元の有限要素計算でも、表面が粗いほど変形が始まる応力が上がった。下地との選択比を上げて表面の損傷を減らすと、滑らかなTiNの試料だけがウィグリングした。選択比を上げるほどマスクが滑らかに残り、かえって波打ちやすくなるという逆説だ。

成膜条件で応力を下げる方向の成功例もある。パナソニックのグループは2016年に、TiNの圧縮応力が溝を変形させ銅の埋め込みに空洞を作る⁹ことを示した。スパッタ原子のエネルギーを下げて結晶粒の成長を抑え、繊維状の組織を持つ低応力のTiNにすると、変形を抑えて銅を完全に埋め込めた。

炭素系マスクでは、膜を硬くするほど圧縮応力が増える

ウィグリングはTiNだけの問題ではない。炭素系のマスクでも、下地を削る間に線が波打つ。東芝のグループは2008年に、塗布型の炭素膜（SOC）で高エネルギーのイオンが膜をフッ素化させ、ウィグリングを起こす¹⁰ことを示した。バイアスの周波数を上げてイオンエネルギーの上限を下げると、38nmの線のウィグリングが抑えられた。イオンが加工中のマスクを変質させて波打ちを起こす点が、TiNの結果と似る。

材料メーカーも要因を調べている。JSRは2012年に、膜中の水素量、ヤング率、密度、耐熱性¹¹などを変えた塗布型マスクを合成し、ウィグリングの要因を調べた。日産化学も同じ年に、ウィグリングに強い塗布型炭素マスク¹²の材料設計を報告している。

CVDの非晶質炭素膜では、膜の緻密さ（押し込み硬さ）と圧縮応力が引き換えになる。Applied Materialsの2014年優先日の特許は¹³、炭素膜の炭素と水素の比を上げて緻密にすると圧縮応力が大きくなり、20nm以下の線が曲がったり切れたりすると書く。そこで炭素にWを入れ、選択比を上げてマスクを薄くし、ウィグリングと線の曲がりを避ける、というのがこの特許の狙いだった。

WdCがTiNよりウィグリングを抑えられる理由は2つ、弱点は1つ

ウィグリングを起こす力は、マスクを押す力 $P=$ 圧縮応力の大きさ $\sigma\times$ 線幅 $w\times$ 厚さ $t$ だ。WdCは、このうち応力と厚さの2つを小さくできる。

理由1：伸びようとする力をゼロにしたり、縮もうとする力に変えたりできる。 TiNは成膜時に応力を下げても、前の節のとおりエッチングのプラズマで圧縮側へ戻る。W系の炭素膜は、成膜条件で応力を動かせる。WdCにホウ素を加えたW・B・C系マスクについて、Appliedの特許は¹⁴、膜全体の応力が−0.1GPaから＋1GPaの範囲に入るとし、RFバイアスと350kHzの低周波電力で調整する方法を示す。TiNの問題は、膜が圧縮応力（−）の状態に置かれ、押し縮められたばねのように伸びようとすることだった。W系の炭素膜を成膜条件で引張応力（＋）の側に置くと、膜は逆に引き伸ばされたばねの状態になり、縮もうとする。縮もうとする膜は、線を両端からぴんと張った糸のようにまっすぐ引く。押す力が生まれないので、そもそも座屈が起きない。プラズマで多少圧縮側へ動いても、出発点が引張側にあれば限界まで余裕が残る。

理由2：マスクを薄くでき、押す力が減る。 Appliedの2014年優先日の特許は¹³、炭素にWを入れて選択比を上げ、マスクを薄くすることを狙う。押す力は厚さに比例するので、同じ応力でもマスクが半分の厚さなら力も半分になる。モデルの限界応力で見ても、厚さを半分にすると約1.4倍に上がる。そのため、選択比の高さはエッチングの余裕だけでなく、ウィグリングの余裕にも直結する。

弱点：膜がやわらかく、同じ応力なら曲がりやすい。 WdC膜のヤング率は最大125GPaで¹⁵、TiNの約445GPaの3分の1以下だ。限界応力はマスクのヤング率の平方根に比例するので、同じ厚さ・同じ応力なら、WdCの限界は多くてもTiNの約半分しかない。厚さを半分にしても多くて約0.75倍で、TiNに届かない。

	TiN	W系炭素膜
成膜時の応力	−3.6〜＋0.2GPa（実測）	−0.1〜＋1GPa（W・B・C系の特許）
プラズマ後	全膜で圧縮が増える（実測）	引張側に置けば余裕が残る（モデルの見立て）
マスクの厚さ	基準	選択比が高く薄くできる
ヤング率	約445GPa	最大125GPa（WdC）

まとめると、WdCが有利になるのは「硬いから」ではない。押す力の元になる応力をほぼゼロか引張に置き、厚さも減らせば、押す力そのものが小さくなるからだ。応力が圧縮のまま残れば、やわらかい分だけTiNより不利になる。採用の条件は、加工中のプラズマを経てもWdCの応力が引張側に残ることだ。IBM ResearchもSPCC 2026で、TiNの圧縮応力によるウィグリングと短絡¹⁶をWdC導入の理由に挙げている。

対策は、式の項を一つずつ動かすこと

動かす量	効き方	具体策と研究例
マスクの応力 $\sigma$	直接効く	低応力の成膜（繊維状TiN）、引張側への調整（W・B・C系）、イオンエネルギーを下げてプラズマ中の応力増加を抑える
マスクの厚さt	平方根で効く	選択比の高いマスクで薄くする（金属ドープドカーボン）
壁のヤング率Ed	平方根で効く	壁自体を硬くする（空孔を減らしたlow-k）
壁の高さh	1.5乗で効く	溝を必要以上に深く掘らない、加工途中の形も管理する
マスク表面	モデル外	表面の粗さが変形の始まる応力を上げる

ウィグリングの評価は、成膜直後の応力だけでは決まらない。プロセス担当が比べる軸は、プラズマに当てた後の応力、加工途中の線の形、線幅と高さの組合せの3つだ。WdCと除去工程の数値はTiNマスクのウィグリングとWdC、装置の供給元はWdC成膜装置の供給元候補、選択比の基本はエッチングで扱っている。

出典

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