インターポーザの取り数：詰め直すと 50 mm 角は 21 個、幾何の損は 3%

インターポーザを大きくすれば、載せられるメモリは増えます。では、なぜ 2 倍レチクルで足踏みしているのか。

よく挙がる答えは 2 つです。円いウェハから大きな四角を取る幾何の損と、面積に対して指数で落ちる欠陥の損。公開されている取り数の表は、この 2 つがほぼ同じ重みで乗るように読めます。

利用率は $U = N A /70, 686$ の 1 本

先に式を固めます。1 個の面積を $A$ （mm²）、300 mm ウェハからの取り数を $N$ （個）とすると、取れる総面積は $N A$ 。ウェハの面積で割れば利用率です。

U = \frac{N A}{π ( D /2 ) ^{2}} = \frac{N A}{π \times 15 0 ^{2}} = \frac{N A}{70 , 686 m m ^{2}}

公開されている表を、この式に通します。レチクル 1 枚が約 830 mm² です。

レチクル倍率	面積 $A$	取り数 $N$	$N A$	$U$
1.5×	1,245 mm²	44	54,780 mm²	0.775
2×	1,660 mm²	33	54,780 mm²	0.775
3×	2,500 mm²	12	30,000 mm²	0.424
4×	3,320 mm²	10	33,200 mm²	0.470

1.5 倍と 2 倍で $N A$ が完全に一致します。54,780 mm² が 2 度出ます。 $1, 245 \times 4/3 = 1, 660$ かつ $44 \times 3/4 = 33$ なので、この区間では $N \propto 1/ A$ がちょうど成り立っています。

3 倍で 30,000 mm² へ落ちます。利用率 42.4%、45% 減。ここが「3 倍はコストが耐えがたい」という判断の根拠として引かれる数字です。多ダイのファンアウトとシリコンインタポーザの原価を、パッケージ寸法・ダイ寸法・端子数の 3 軸で比べた2013 年の比較¹があるとおり、面積はコストの主要軸です。その軸の上で、45% は大きい。

表の 4 倍が 3 倍より高い——単調性が崩れている

表をもう一度縦に追います。

U (2, 500 m m^{2}) = 0.424, U (3, 320 m m^{2}) = 0.470

大きいほうが高い。

円から四角を取る損は、四角が大きいほど増えます。半径 150 mm の円に一辺 $s$ の正方形を格子で詰めるとき、 $s$ が大きくなるほど縁の捨て代が相対的に厚くなる。 $U$ は $A$ の非増加関数である必要があります。

A_{1} < A_{2} \Rightarrow U (A_{1}) \geq U (A_{2})

表はこの不等号を逆向きに破っています。2,500 mm² が 0.424、3,320 mm² が 0.470。

この 1 行が、45% という数字の根拠を揺らします。単調性が崩れている以上、 $N$ の列は純粋な格子詰めの結果ではありません。ダイ間の結線の設計と検証を 2.3D 有機インターポーザで主題にした2024 年の報告²のような具体設計では形状比が大きく振れるので、公表された取り数と正方形の詰めが一致する保証は、そこで切れます。

自分で詰め直すと、50 mm 角は 21 個入る

そこで、格子詰めを直接解きます。半径 150 mm の円に、辺 $w \times h$ の長方形を格子で敷きます。格子の原点を $(o_{x}, o_{y})$ とすると、 $(a, b)$ 番目の矩形が円に完全に入る条件は 4 隅のうち最遠点で決まります。

max (x_{0}^{2}, x_{1}^{2}) + max (y_{0}^{2}, y_{1}^{2}) \leq R^{2}

x_{0} = o_{x} + a w, x_{1} = x_{0} + w, y_{0} = o_{y} + bh, y_{1} = y_{0} + h

原点を 1 周期ぶん走査して最大値を取ります。正方形（ $w = h = A$ ）で計算した結果です。

$A$	一辺	自分の詰め	表の $N$	自分の $U$
1,245 mm²	35.3 mm	44	44	0.776
1,660 mm²	40.7 mm	32	33	0.750
2,500 mm²	50.0 mm	21	12	0.743
3,320 mm²	57.6 mm	14	10	0.657

1,245 mm² で 44 個。表とぴったり一致します。1,660 mm² でも 32 対 33 で 1 個違い。小さい側では、表は格子詰めそのものです。

ところが 2,500 mm² で 21 対 12。1.75 倍の開きです。3,320 mm² でも 14 対 10。

自分の $U$ は単調に落ちます。0.776 → 0.750 → 0.743 → 0.657。不等号が正しい向きに並びます。極端に大きな露光野を使う2023 年の基板変形とパターン歪みへの対処³が対象にする寸法帯も、この坂の上に乗ります。

縁の除外幅を 3 mm、5 mm と入れても、2,500 mm² は 21 個、17 個どまりです。露光野を跨ぐ配置（26 × 33 mm の整数倍のブロックに揃える）で解き直しても 16〜18 個。12 個を再現する幾何モデルは、ここまでの探索では見つかっていません。

利用率を辺の長さで追うと、崖の代わりに緩い坂が出ます。

一辺	$N$	$U$
35.3 mm	44	0.776
50.0 mm	21	0.743
60.0 mm	12	0.611
75.0 mm	7	0.557

35 mm から 75 mm まで、面積を 4.5 倍にして利用率の低下は 28% どまりです。量子化で上下しますが、坂のまま続きます。

幾何の損は 32% から 3% へ落ちる

掛け算の分解をやり直します。良品として取れるシリコン面積は、幾何と欠陥の積です。

A_{good} = N A \cdot e^{- A D_{0}}

面積に対して歩留まりが指数で落ちる形そのものは、貼り合わせの方式別に原価と歩留まりを比べた2014 年の報告⁴の土台にある基本式です。 $D_{0} = 0.001$ /mm²（0.1 個/cm²）で数を入れます。

	表の $N$	自分の $N$	$Y = e^{- A D_{0}}$
1,245 mm²	44	44	0.2879
2,500 mm²	12	21	0.0821

1.5 倍から 3 倍への損を、2 つの $N$ で分解します。

表の N : 幾何 1.83 \times 欠陥 3.51 = 6.41

自分の N : 幾何 1.04 \times 欠陥 3.51 = 3.66

対数で取った寄与率はこうなります。

\frac{ln 1.83}{ln 6.41} = 32%, \frac{ln 1.04}{ln 3.66} = 3%

表の $N$ を使うと幾何が 32%、格子詰めの $N$ を使うと 3%。10 倍の開きです。

結論の向きが動きます。「円から四角を取る損と、面積に対する欠陥の損が、ほぼ同じ重みで乗る」という読み方の代わりに、欠陥の項がほぼ全部を持っていきます。

実務上の含意が反転します。幾何の損はウェハが丸いことの帰結なので、工程改善では減りません。ところが欠陥の損は $D_{0}$ へ乗るので、欠陥密度を下げる仕事がそのまま返ってきます。どちらが支配的かで、投じる工数の行き先が動きます。

欠陥の項だけで、3 倍の壁は十分に立つ

幾何を外しても、大きくすることの損は立ったままです。指数の肩が面積に比例するからです。

\frac{Y ( 1 , 245 )}{Y ( 2 , 500 )} = \frac{e ^{- 1.245}}{e ^{- 2.5}} = e^{1.255} = 3.51

\frac{Y ( 1 , 245 )}{Y ( 3 , 320 )} = e^{2.075} = 7.96

面積を 2 倍にすると、歩留まりは 2 乗で落ちます。 $Y (2 A) = Y (A)^{2}$ 。この形は掛け算を通しても同じ急さで立ちます。

自分の格子詰めの $N$ で良品面積を出し直します。

	$N$	$N A$	$Y$	$A_{good}$
1,245 mm²	44	54,780	0.2879	15,773 mm²
1,660 mm²	32	53,120	0.1901	10,100 mm²
2,500 mm²	21	52,500	0.0821	4,309 mm²
3,320 mm²	14	46,480	0.0362	1,680 mm²

1.5 倍から 4 倍で、9.4 分の 1。そのうち幾何が寄与するのは $54, 780/46, 480 = 1.18$ 倍ぶんだけです。

ウェハ形式からパネル形式へ工程を移す動機そのものが、この幾何の坂にあることは2017 年のウェハレベル実装のパネル形式への移行⁵が主題にしています。 $N A$ の列がほぼ横ばいであることに注目してください。54,780 → 53,120 → 52,500 → 46,480。面積を 2.7 倍にしても、ウェハから取れる総シリコンはほとんど同じです。落ちているのは、そのうち売れる割合のほうです。

3 つめの損は、掛け算に入っていない

ここまでの $A_{good}$ とは別に、損が 1 つあります。露光の継ぎ合わせです。

0.33 NA の露光機がウェハ上へ一度に焼ける最大の枠は 26 mm × 33 mm。

26 \times 33 = 858 m m^{2}

実装側が「1 倍レチクル = 約 830 mm²」と呼ぶ値と、ほぼ同じです。この枠は光学系の都合で決まるので、インターポーザ側の要求とは関係なく決まります。

	$A$	$A /858$	必要な枚数
1×	830 mm²	0.97	1
1.5×	1,245 mm²	1.45	2
2×	1,660 mm²	1.93	2
3×	2,500 mm²	2.91	3

1.5 倍のインターポーザには、露光 2 枚が要ります。継ぎ合わせると、どの層もマスクと露光が 2 回以上になります。コンタクトやビアの層はパターンをどちらかのマスクへ丸ごと割り振れるので単純ですが、配線層はパターンが 2 回の露光の継ぎ目を跨ぎます。

継ぎ目を跨いで寸法制御を保つ作業が、そのまま難所です。大面積の微細構造を作る側では、継ぎ合わせ誤差の補償そのものが研究対象になっています。2020 年の斜め走査露光による大面積微細構造の継ぎ合わせ誤差補償⁶が、その 1 つです。

マスク代と露光回数は、 $e^{- A D_{0}}$ に入っていません。だから前節の 9.4 分の 1 は、まだ楽観側の数字です。

世代が上がると、継ぎ合わせのしきいが半分に下りる

この枠は、次の世代で半分になります。

0.55 NA では、レンズの縮小率を上げた場合にかぎり、マスク上での入射角が立ったまま多層膜の反射率を保てます。ところが縮小率を 8 倍にすると、ウェハ上の枠は面積で 4 分の 1 になります。

\frac{858}{4} = 214 m m^{2}

そこで縮小率を方向で変えます。走査方向が 8 倍、直交方向が 4 倍。マスク上で使う面積が同じまま、ウェハ側の枠は

26 mm \times 16.5 mm = 429 m m^{2}

\frac{429}{858} = 0.50

4 分の 1 になるところを、方向を分けて 2 分の 1 で止めた設計です。非等方レンズとマスク製造の課題を正面から主題にした2017 年のアナモルフィック高 NA リソグラフィとマスク製造の課題⁷が、この設計の主題です。

継ぎ合わせが要り始めるしきいが、858 mm² から 429 mm² へ下ります。

	$A$	0.33 NA	0.55 NA
1×	830 mm²	1 枚	2 枚
1.5×	1,245 mm²	2 枚	3 枚
2×	1,660 mm²	2 枚	4 枚
3×	2,500 mm²	3 枚	6 枚

1 倍レチクルのインターポーザが、装置の世代だけで 1 枚から 2 枚になります。インターポーザの設計は 1 mm も同じままです。

期待の向きが逆です。「プロセスが進めばレチクルの上限も緩む」という読み方の代わりに、微細化に付いていくほど大判シリコンの代金が上がります。基板の変形とパターン歪みへ極端に大きな露光野で対処する2023 年の報告³のように、枠を広げる方向の仕事もありますが、解像力を上げる方向とは逆を向いています。

小さいシリコンは、どちらの枠にも何十個も収まる

3 つの損を 1 つの表に載せます。

損	乗る先	工程改善で消えるか
幾何（円から四角）	取り数 $N$	ウェハが丸いかぎり変わらない。ただし寄与は 3%
欠陥歩留まり	$e^{- A D_{0}}$	$D_{0}$ を下げれば動きます。寄与は 97%
継ぎ合わせ	マスク枚数・露光回数・継ぎ目の寸法制御	世代が上がるほど増えます

3 つのうち 2 つが、面積 $A$ の単調増加です。だから解の向きが定まります。シリコンを小さくする。

横方向の通信が要る場所だけに小さなシリコンの橋を置き、縦の導通は樹脂を貫く柱で取る。橋の寸法は 2 × 2 mm から 8 × 8 mm、多くは 5 × 5 mm 未満です。

橋の寸法	面積	0.33 NA の枠に入る数	0.55 NA の枠に入る数
2 × 2 mm	4 mm²	214 個	107 個
5 × 5 mm	25 mm²	34.3 個	17.2 個
8 × 8 mm	64 mm²	13.4 個	6.7 個

いちばん大きい 8 × 8 mm でも、半分になった枠に 6.7 個入ります。継ぎ合わせが要る寸法の、はるか手前に居ます。

Y (25 m m^{2}) = e^{- 0.025} = 0.975

欠陥歩留まりも 97.5%。面積を 100 分の 1 にすると、指数の肩が 100 分の 1 になります。

もう 1 本の解が、土台を四角くする側です。ウェハレベルの工程をパネル形式へ移す仕事は2017 年の報告⁵が主題にしており、パネルの反りという別の課題は2024 年のパネルレベル再配線の報告⁸が相手にしています。

一辺 70 mm の正方形なら

土台	取り数	利用率
300 mm ウェハ	9 個	0.624
300 mm × 300 mm パネル	16 個	0.871

丸を四角にするだけで、0.624 から 0.871 へ。ただしこれは幾何の項だけの改善です。寄与 3% の側を直す仕事なので、欠陥の項は同じ大きさで立ったままです。

インターポーザの取り数：詰め直すと 50 mm 角は 21 個、幾何の損は 3%

利用率は $U = N A /70, 686$ の 1 本

表の 4 倍が 3 倍より高い——単調性が崩れている

自分で詰め直すと、50 mm 角は 21 個入る

幾何の損は 32% から 3% へ落ちる

欠陥の項だけで、3 倍の壁は十分に立つ

3 つめの損は、掛け算に入っていない

世代が上がると、継ぎ合わせのしきいが半分に下りる

小さいシリコンは、どちらの枠にも何十個も収まる

出典

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利用率は U=NA/70,686 の 1 本

表の 4 倍が 3 倍より高い——単調性が崩れている

自分で詰め直すと、50 mm 角は 21 個入る

幾何の損は 32% から 3% へ落ちる

欠陥の項だけで、3 倍の壁は十分に立つ

3 つめの損は、掛け算に入っていない

世代が上がると、継ぎ合わせのしきいが半分に下りる

小さいシリコンは、どちらの枠にも何十個も収まる

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利用率は $U = N A /70, 686$ の 1 本