基板コアの最適 CTE：シリコンと基板のてこ比で決まる

ガラスコア基板の利点として、熱膨張係数がシリコンに近いことが挙げられます。

ところが基板は、上のシリコンだけに付いているわけではありません。下にはプリント基板があり、そちらの膨張係数はシリコンより大きい。シリコンへ近づけるほど、下との差が開きます。

反りは、上下の膨張差から出る

まず機構を確かめます。2025 年のコア材料の熱膨張係数が大型 FCBGA パッケージの反りへ与える影響の研究¹が、連鎖をそのまま書いています。

「ダイ／シリコンと、コアや絶縁材料といった基板材料との熱膨張係数の不整合が、パッケージの熱反りをもたらし、電子パッケージにおける熱機械的な故障を招きうる。」

大小関係が明示されます。ダイ／シリコンの熱膨張係数は、有機基板の全体としての熱膨張係数より小さい。

反りの向きも、用語として決めてあります。

温度	反りの形	符号
リフローから冷える	凸（泣き顔）	正の反り
加熱される	凹（笑い顔）	負の反り

この研究が振っているパラメータは、コア材料の熱膨張係数、コアの厚み、パッケージの型です。コアの膨張係数が設計変数の 1 つに数えられているのが要点です。

上と下の両方から、同時に引かれる

パッケージを 3 層とみなします。層の構成と接合部の呼び分けは、2007 年の 2 次実装における BGA 型パッケージのはんだ接合部の故障²が使う段の区別に沿っています。

層	熱膨張係数の目安
シリコンのダイ	$α_{Si} ≃ 2.6$ ppm/K
基板のコア	$α$ （設計変数）
プリント基板	$α_{PCB} ≃ 17$ ppm/K

接合部は 2 か所にあります。ダイと基板のあいだ（銅ピラーやマイクロバンプ）と、基板とプリント基板のあいだ（はんだボール）。

温度が $Δ T$ 動いたとき、接合部の一端が受ける相対変位は

u = Δ α \cdot L \cdot Δ T

$L$ は中立点から接合部までの距離——てこの腕です。

接合部	膨張差	腕の長さ
ダイ側	$∣ α - α_{Si} ∣$	ダイの半対角（ダイ寸法で決まる）
基板側	$∣ α - α_{PCB} ∣$	パッケージの半対角

2 つの膨張差は、 $α$ を動かすと必ず逆向きに動きます。 $α$ が 2.6 と 17 のあいだにある限り、

∣ α - 2.6 ∣ + ∣ α - 17 ∣ = 14.4 （一定）

差の合計は $α$ によらず一定です。動かせるのは、その 14.4 を上下でどう配分するかだけ。

用語

最適な $α$ は、腕の長さの加重平均

2 つの相対変位が等しくなる点を探します。ダイ側の腕を $L_{die}$ 、基板側の腕を $L_{pkg}$ として

(α^{*} - α_{Si}) L_{die} = (α_{PCB} - α^{*}) L_{pkg}

$α^{*}$ について解くと

α^{*} = \frac{α _{Si} L _{die} + α _{PCB} L _{pkg}}{L _{die} + L _{pkg}}

腕の長さを重みとした加重平均です。長いほうの端点へ引かれます。

ダイ 20 mm 角（ $L_{die} = 10$ mm）、パッケージ 50 mm 角（ $L_{pkg} = 25$ mm）なら

α^{*} = \frac{2.6 \times 10 + 17 \times 25}{10 + 25} = \frac{26 + 425}{35} = 12.9 ppm/K

12.9 ppm/K。シリコンの 2.6 より、プリント基板の 17 にずっと近い。

パッケージがダイより大きいほど、最適値は基板側へ動きます。

ダイ	パッケージ	$L_{die} : L_{pkg}$	$α^{*}$
20 mm	24 mm	10 : 12	8.5 ppm/K
20 mm	35 mm	10 : 17.5	11.7 ppm/K
20 mm	50 mm	10 : 25	12.9 ppm/K
40 mm	50 mm	20 : 25	10.6 ppm/K

「シリコンに合わせろ」が正解になるのは、 $L_{pkg}$ が $L_{die}$ に近いとき——つまりパッケージがダイとほぼ同じ大きさのときです。ダイがパッケージの一部にとどまる構成では、最適値が基板側へ動きます。

変位を数字にする

上の式で、実際の変位を計算します。変位がそのまま熱疲労の駆動力になることは、2025 年の BGA パッケージの熱疲労挙動の研究³が配置の最適化を通じて示しています。 $Δ T = 100$ K として、

u_{die} = ∣ α - 2.6 ∣ \times 1 0^{- 6} \times 10 mm \times 100 = ∣ α - 2.6 ∣ μ m

u_{pkg} = ∣ α - 17 ∣ \times 1 0^{- 6} \times 25 mm \times 100 = 2.5 ∣ α - 17 ∣ μ m

コアの $α$	ダイ側 $u_{die}$	基板側 $u_{pkg}$	大きいほう
4.8（シリコン側）	2.2 µm	30.5 µm	基板側
8	5.4 µm	22.5 µm	基板側
10	7.4 µm	17.5 µm	基板側
12.9（最適）	10.3 µm	10.3 µm	同じ
15	12.4 µm	5.0 µm	ダイ側

4.8 から 10 へ動かすと、基板側が 30.5 → 17.5 µm で 43% 減ります。そのかわりダイ側が 2.2 → 7.4 µm で 3.4 倍。

最悪値は 30.5 → 17.5 → 10.3 µm と単調に下がります。最適点で両側が釣り合い、そこが最悪値の最小です。

2 つの接合部の強さは、別の値

上の計算は「両側の変位が等しいところが最適」という前提に立っています。この前提が成り立つのは、2 つの接合部が同じ変位に耐えるときです。

実際には別です。

接合部	寸法	変位への耐性
銅ピラー／マイクロバンプ	数十 µm ピッチ、高さ 10〜30 µm	小さい。背が低く、硬い
はんだボール	0.3〜0.8 mm、高さ数百 µm	大きい。背が高く、変形で逃がせる

背の高い接合部のほうが、同じ変位を小さいひずみとして受けます。せん断ひずみは $γ = u / h$ なので、高さ $h$ が 10 倍なら同じ $u$ でひずみは 10 分の 1。

だから許容変位の比 $S_{die} : S_{pkg}$ を入れて、釣り合い点を修正します。

\frac{( α ^{*} - α _{Si} ) L _{die}}{S _{die}} = \frac{( α _{PCB} - α ^{*} ) L _{pkg}}{S _{pkg}}

α^{*} = \frac{α _{Si} L _{die} S _{pkg} + α _{PCB} L _{pkg} S _{die}}{L _{die} S _{pkg} + L _{pkg} S _{die}}

はんだボールのほうが耐えるなら $S_{pkg} > S_{die}$ で、最適値はシリコン側へ戻ります。

先ほどの例で $S_{pkg} / S_{die} = 5$ とすると

α^{*} = \frac{2.6 \times 10 \times 5 + 17 \times 25 \times 1}{10 \times 5 + 25 \times 1} = \frac{130 + 425}{75} = 7.4 ppm/K

12.9 から 7.4 へ戻りました。耐性の比が、腕の長さの比と同じ重みで効いています。

だから最適値を求めるには、2 つの比が要ります。腕の長さの比と、耐性の比。2 つ揃って初めて決まります。

下側の接合部は、独立した研究対象になっている

基板側の接合部については、専門の研究が積み上がっています。2007 年の 2 次実装における BGA 型パッケージの SnAgCu はんだ接合部の故障²が追っているのが、まさにこの段です。

「2 次実装（2nd level）」という呼び方が、段の区別を表しています。

段	接合部
1 次実装	ダイと基板のあいだ
2 次実装	基板とプリント基板のあいだ

2025 年の最適化したはんだ接合部レイアウトを持つ BGA パッケージの熱疲労挙動の研究³は、配置そのものを設計変数にする方向です。

変位が腕の長さに比例するなら、外側のボールほど大きい変位を受けます。だからレイアウトの最適化には、次のような余地があります。

外周のボールを増やして、1 個あたりの負担を減らす
最も外側の列を犠牲にして、内側の列で電気的な機能を確保する
ボールの配置をパッケージの中立点まわりで対称にする

コアの膨張係数が固定のとき、レイアウトが残された変数になります。

ガラスを選ぶと、膨張係数が設計変数になる

ここまでの話は、コアの膨張係数を自由に選べることを前提にしてきました。有機基板では、膨張係数は樹脂と補強材の組み合わせでほぼ決まります。自由度は限られます。

ガラスでは、この量が広い範囲で選べます。2020 年のウェーハ・パネルレベル実装におけるガラスの報告⁴が、範囲を示しています。

「ガラスの熱膨張は、特定の用途の要求に応じて原理的に 2 ppm/K から 12 ppm/K の範囲で調整できる。」

2 から 12 という範囲が、先ほど計算した最適値をほぼ覆っています。

構成	必要な $α^{*}$	ガラスの範囲に入るか
ダイ 20 mm / パッケージ 24 mm	8.5	入る
ダイ 20 mm / パッケージ 50 mm	12.9	上端をわずかに超える
耐性比 5 を入れた場合	7.4	入る

だからガラスの値打ちは「シリコンに近い」ことより、「選べる」ことにあります。同じ報告が挙げる他の利点——比較的大きいヤング率にもとづく 1 桁 µm の加工精度、パネル寸法での数百万個のビア形成——と合わせて、設計変数が 1 つ増えるという点で有利です。

選べることの代償

ガラスには、有機基板に無い条件も付きます。

1 つ目は加工です。2024 年のパネルにおける半導体実装向けガラスビア穴あけの報告⁵が、問題を書いています。ガラス製インターポーザ基板へ垂直で高アスペクト比のビアをレーザで穴あけすることは、工程のスケーリングに課題を生む。対策として、高ダイナミックなスキャナとサーボステージの動きを組み合わせる高度なモーション制御が提示されています。

穴の数がパネル 1 枚で数百万になると、1 穴あたりの時間が全体の律速になります。

2 つ目は割れです。1995 年の単調荷重と繰り返し荷重下での高分子／ガラス界面における亀裂進展の研究⁶が追っているのが、この問題です。ガラスの延性は乏しいので、亀裂が入ると一気に進みます。

用語

延性と脆性で、設計の考え方が動く

性質	有機基板	ガラス
降伏	する。局所の応力集中が緩和される	起きにくい。応力が集中したまま
亀裂の進み方	遅い。検出の余地がある	速い。一度始まると止まりにくい
設計の基準	ひずみの大きさ	欠陥の寸法と応力拡大係数

だから設計の基準そのものが替わります。有機基板では「ひずみをこれ以下に」と書けますが、ガラスでは「この寸法の欠陥があっても進展が止まる応力」という書き方になります。

1995 年の研究が界面を対象にしているのが要点です。ガラス単体でなく、高分子とガラスの界面が亀裂の通り道になります。RDL の絶縁膜とガラスの界面、封止材とガラスの界面——設計の中に界面が何か所あるかを数えることが、そのまま亀裂経路の数を数えることになります。

繰り返し荷重を掛けた試験が並んでいるのも、この事情によります。単調な荷重で壊れなくても、温度サイクルで進むことがあります。

現場で動く判断

コアの膨張係数を、設計変数として表に載せます。2025 年の反りの研究¹がコア CTE・コア厚み・パッケージ型を並べて振っているのと同じ並びで持ちます。

コアの膨張係数は、上下 2 つの膨張差の配分です。 $∣ α - 2.6 ∣ + ∣ α - 17 ∣ = 14.4$ で一定。動かせるのは配分だけです。

最適値は、腕の長さを重みとした加重平均です。ダイ 20 mm・パッケージ 50 mm で 12.9 ppm/K。パッケージがダイより大きいほど、基板側へ動きます。

「シリコンに合わせろ」が正解になるのは、パッケージがダイとほぼ同じ大きさのときです。ダイがパッケージの一部にとどまる構成では、最適値が基板側へ動きます。

接合部の耐性の比も、同じ重みで入ります。背の高いはんだボールが 5 倍耐えるなら、最適値は 12.9 → 7.4 へ戻ります。腕の長さの比と耐性の比、2 つ揃って初めて最適値が出ます。

膨張係数が固定のときは、レイアウトが残された変数です。変位が腕の長さに比例するので、外周のボールの配置と数が乗ります。

ガラスの値打ちは、2〜12 ppm/K を選べることです。「シリコンに近い」という性質そのものより、設計変数が 1 つ増えることのほうが大きい。

ガラスでは、設計の基準が「ひずみ」から「欠陥寸法」へ替わります。延性の乏しい材料なので、亀裂は一度始まると止まりにくい。

界面の数が、亀裂経路の数です。高分子／ガラス界面は亀裂の通り道になります。構成の中に界面が何か所あるかを、先に数えます。

基板コアの最適 CTE：シリコンと基板のてこ比で決まる

反りは、上下の膨張差から出る

上と下の両方から、同時に引かれる

変位を数字にする

下側の接合部は、独立した研究対象になっている

ガラスを選ぶと、膨張係数が設計変数になる

選べることの代償

現場で動く判断

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反りは、上下の膨張差から出る

上と下の両方から、同時に引かれる

変位を数字にする

下側の接合部は、独立した研究対象になっている

ガラスを選ぶと、膨張係数が設計変数になる

選べることの代償

現場で動く判断

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