抵抗を正しく測る

BEOLの配線は、1スクエアで数十mΩの世界です。ところがその同じ配線へ針を2本降ろすと、計器は1 Ωを超える値を返すことがあります。返ってきた数字のうち、どこまでが配線で、どこからが測り方なのか。

この回は、その切り分けを1行の式——誤差項はどれも「経路の抵抗 × そこを流れる電流」の積——から組み立てます。四端子・四探針・van der Pauw・CBKR・via chain という5つの構造は、この1行への5通りの答えとして並びます。

2端子のV/Iには、余計な抵抗が足し算で乗る

抵抗の測り方は素朴には1本道です。電流 I を流し、電圧 V を測り、V/I を割り算する。ところが2本の線で流しながら同じ2本で電圧を拾うと、計器が示す電圧はテスト対象の両端に立つ電圧より大きくなります。電流は計器から対象までの引き回し配線とプローブの接触面も通り、そこでも電圧が落ちるからです。

R_{meas} = R + 2 (R_{lead} + R_{contact})

$R_{meas}$ が計器の読み、 $R$ が測りたい抵抗、 $R_{lead}$ が引き回し配線1本ぶんの抵抗、 $R_{contact}$ がプローブ1本ぶんの接触抵抗です。

用語

この回には「抵抗」と名の付く量が4つ出てきます。単位がそれぞれ別なので、混ぜると式が崩れます。

抵抗 $R$ — 単位 Ω。その配線1本、そのビア1個の値。長さと幅を変えれば動く
抵抗率 $ρ$ — 単位 Ω·cm。材料そのものの性質で、形と厚みから独立
シート抵抗 $R_{s}$ — 単位 Ω/sq。抵抗率を膜厚 $t$ で割った $ρ / t$ で、「その膜」の性質。面内のレイアウトから独立で、膜厚だけを含む
比接触抵抗率 $ρ_{c}$ — 単位 Ω·cm²。界面 1 cm² あたりのコンタクトの通しにくさ。面積で規格化してあるので、大きさの別なコンタクトどうしを比べられる

区別が要るのは、動いたときの行き先がそれぞれ別だからです。 $ρ$ が動けば材料か不純物、 $R_{s}$ が動けば膜厚（成膜とCMP）、 $R$ だけが動けば寸法（リソとエッチ）、 $ρ_{c}$ が動けばビア底の界面（エッチと洗浄とバリア）。この回の最後の節は、その対応を装置名まで落とした表になります。

この引き回し抵抗は10 mΩから1 Ωの範囲であり、100 mΩの引き回しで500 mΩの抵抗を2端子測定すると、計器自身の誤差に加えて20%の誤差が乗ります¹。同じ資料は、対象が100 Ωを下回ると2端子で正確な値を得るのは難しくなる、と続けます。

BEOLで測る金属は、この100 Ωの線のはるか下側にいます。シート抵抗は $R_{s} = ρ / t$ （ $ρ$ は抵抗率、 $t$ は膜厚）で決まるので、抵抗率3.65 µΩ·cm級のアルミ配線を厚さ0.675 µmで敷けば $R_{s} = 0.054$ Ω/sq、1スクエアぶんの金属は54 mΩです。CBKRに使った下地と上層のアルミのシート抵抗も、同じウェーハ上のvan der Pauw構造で測定され、それぞれの膜厚に見合う値になっています²。そこへ合計1 Ωの引き回しが乗れば、2端子の読みは1054 mΩになり、本体の19.5倍へ膨らみます。

四端子（Kelvin）：電流の道と電圧の道を分ける

Kelvin法は、電流を流す1対と電圧を測る1対を別々の端子として用意します。電圧計の入力インピーダンスが高いので、電圧側の経路を流れる電流はピコアンペア級まで下がります。sense側に流れる電流は典型的に100 pA未満であり、そのぶんsense側の電圧降下は無視できる大きさにとどまります¹。

仕掛けはここで全部です。誤差項はどれも「経路の抵抗 × そこを流れる電流」という積の形をしています。電圧側の電流を十分に小さくすれば、電圧側の抵抗が何オームであっても積は消えます。

数字にすると差は極端です。sense配線の1 Ωに100 pAが流れたときの電圧降下は100 pV。いっぽう54 mΩの対象へ1 mAを流したときの信号は54 µV。誤差の比は $1.9 \times 1 0^{- 6}$ です。2端子では本体の18倍あった同じ誤差項が、四端子では百万分の2まで縮みます。

図 01

誤差項はどれも「経路の抵抗 × そこを流れる電流」の積です。A〜C は、4端子が電圧側の電流をピコアンペアまで落として積を潰すこと、そしてCBKRが同じ手を使いながら、コンタクトの外側のはみ出し

δ

にも電流を通すぶんだけ

ρ_{c}

を大きめに返すこと。D〜F は、四探針・Greek cross・cross-bridge が1本の系譜でつながること。F の cross-bridge は E の十字に腕を1本継いだだけで、接点 2 と 4 は両方の測定で共用されるので、

R_{s}

と

W

が同じ場所・同じ膜・同じ温度で取れます。

図の A と B が、ここまでの話です。残る4枚はこの先の見取り図で、同じ4端子の考えが、探針の並べ方（D）、膜の形そのもの（E）、腕の継ぎ足し（F）、そしてビア1個の界面（C）へ姿を変えていきます。順序は D → E → F → C です。

ウェーハ上では、この4本の端子がパッド4個になります。TEG 1構造あたり4パッドという占有面積が、Kelvin法の代金です。スクライブラインの幅には上限があるので、何をKelvinで測り何をチェーンで測るかは、この面積の割り振りとして決まります。

四探針法：探針の並べ方そのものが幾何係数を与える

四探針法（four-point probe）は、Kelvin法へ幾何を1段足したものです。等間隔 $s$ で4本の探針を一直線に立て、外側の2本で電流を流し、内側の2本で電圧を測ります。電流側と電圧側が別の探針なので、探針と膜の接触抵抗は測定値から落ちます。手元に届くのは膜の中の電位分布だけです。

薄い膜では、電流は膜の中を面内に広がります。Smitsは、厚みが探針間隔より十分に小さい無限に広い膜について、シート抵抗が $R_{s} = \frac{π}{l n 2} \frac{V}{I} = 4.5324 \frac{V}{I}$ になると導いています³。この式は探針間隔 $s$ から独立です。 $s$ を1 mmにしても2 mmにしても、同じ $R_{s}$ が返ってきます。

なぜオーム毎スクエアが膜の自然な単位なのか

厚さ $t$ 、抵抗率 $ρ$ の膜から、長さ $L$ 、幅 $W$ の帯を切り取ると

R = \frac{ρ L}{W t} = \frac{ρ}{t} \cdot \frac{L}{W}

前の分数が膜の性質、後ろの分数がレイアウトの形です。前に名前を付けたものがシート抵抗 $R_{s} = ρ / t$ で、単位はΩ/sq（オーム毎スクエア）。 $L / W$ はその帯が何スクエアぶんかという個数です。正方形なら $L / W = 1$ なので、10 µm角でも1 mm角でも抵抗は同じ $R_{s}$ 。これが「毎スクエア」という言い方の中身です。

BEOLでこの単位が便利な理由は2つあります。膜厚 $t$ の実測を省いたまま電気だけで $R_{s}$ が求まること、そして配線1本の抵抗が $R_{s}$ とレイアウト上のスクエア数の掛け算で予測できること。配線抵抗の見積もりは、この2つの掛け算のうえに立っています。

有限の大きさは係数を削る

無限に広い膜という前提は、実物のウェーハでは崩れます。試料の縁に近いほど電流の横方向の広がりが妨げられ、同じ $R_{s}$ でも $V / I$ が大きく出ます。Smitsは、円形試料の中心に探針を立てた場合の補正係数を表にしています³。

直径 $D$ と探針間隔 $s$ の比	係数 $C$ （ $R_{s} = C V / I$ ）
3.0	2.2662
5.0	3.3625
10.0	4.1716
20.0	4.4364
無限大	4.5324

$D / s = 10$ でも、係数は無限大の値より8.0%小さい側にいます。 $D / s = 20$ で2.1%。300 mmウェーハに間隔1 mmの探針列を立てれば $D / s = 300$ なので、係数は無限大の 4.5324 とほぼ一致します。四探針法がベア膜の面内マップに向くのはこのためです。

一方、スクライブライン内のTEGは一辺が数十µmで、探針4本を立てるには狭すぎます。ここから先はウェーハへ作り込んだ4端子構造の出番になります。

図の E から F への変化は「腕を1本伸ばした」だけです。ここに、式だけ眺めていると見落とす点が1つあります。接点 2 と 4 は、十字の測定とブリッジの測定で共用されます。cross-bridge は構造が2つ並んだ姿をしていますが、実体は同じ十字を2回使い回す形です。だから $R_{s}$ と $W$ が、まったく同じ場所・同じ膜・同じ温度で取れます。別々の構造で測ったら $W = R_{s} L / R_{b}$ の $R_{s}$ が「隣の構造の値」になり、線幅の精度がその一致度で頭打ちになります。

van der Pauw：形の自由と、その代金

van der Pauwは、任意の形の薄板でも周辺の4点だけからシート抵抗が求まる方法をまとめました⁴。周辺に順に並ぶ接点を1、2、3、4とし、1-2へ電流を流して3-4間の電圧を測った比を $R_{A}$ 、2-3へ流して4-1間を測った比を $R_{B}$ とすると

exp (- \frac{π R _{A}}{R _{s}}) + exp (- \frac{π R _{B}}{R _{s}}) = 1

この式を $R_{s}$ について数値で解きます。対称な形なら $R_{A} = R_{B} = R$ となり、 $R_{s} = \frac{π}{l n 2} R$ という四探針と同じ係数へ一致します。形の自由を得ても、係数は同じところへ落ち着きます。

自由の代金は前提の側にあります。van der Pauw法は単連結の薄板、穴や非導電の島を除いた1枚の形と、周辺、できれば角に配した4つの微小なオーミック接点を前提とします⁵。同じ資料は、試料の横方向寸法が接点の大きさと板厚より十分に大きい状態を求めます。接点が有限の広さを持つと電流の入り口がそのぶん広がり、 $R_{s}$ は低めに出ます。

スクライブラインで使う形はギリシャ十字

BEOLのTEGでは、任意形状の自由をあえて捨てて、ギリシャ十字（Greek cross）に固めます。十字の4本の腕がそのまま4接点になり、対称性から $R_{s} = \frac{π}{l n 2} \frac{V}{I}$ が直接得られます。

この十字に、同じ層で作った細長いブリッジを足したものが cross-bridge sheet resistor です。この構造はシート抵抗と電気的線幅の両方を1つのTEGから与え、幾何に由来する系統誤差を1%以下へ収める設計指針です⁶。線幅は、ブリッジの抵抗 $R$ をKelvinで測り、設計長 $L$ と十字から得た $R_{s}$ を入れて

W = R_{s} \frac{L}{R}

として求まります。この $W$ は電気的線幅です。SEMが上から測る寸法とは別物で、断面の丸まり、粒界、バリア層が取る面積のすべてが $W$ へ折り込まれます。同じ資料は、電圧タップがブリッジを短絡側へ引く影響で $W$ が最大0.5%大きく出ると見積もっています。

用語

「線幅」には測り方が別な2つがあり、どちらも nm で書かれるので取り違えられます。

物理的線幅（SEMのCD）— 上から撮った像のエッジ間距離、単位 nm。像に写るのは表面の輪郭だけで、断面が台形なら上底の側を測っていることになる
電気的線幅 $W$ — 電流が実際に通れる幅として $W = R_{s} L / R$ から逆算した値、単位 nm。断面の丸まり、粒界、バリア層が占める面積が、すべてここへ折り込まれる

区別が要るのは、片方だけが動くことがあるからです。バリア層を薄くすれば電流の通り道が広がって $W$ は太くなる一方、上から撮った輪郭は同じままなのでSEMのCDは変わりません。逆にエッチを詰めれば両方が細くなります。どちらが動いたかで、疑う工程が決まります。

CBKR：ビア1個の抵抗と、幾何が生む水増し

コンタクト抵抗は、面積で規格化した比接触抵抗率 $ρ_{c}$ （単位 Ω·cm²）で語ります。 $ρ_{c}$ を測る標準的な構造が CBKR（cross-bridge Kelvin resistor）です。下の金属の腕と上の金属の腕を直交させ、交点にコンタクト1個ぶんの窓だけを開けます。BEOLならこの窓がビアです。

電流は下の腕から入り、ビアを縦に上がって、上の腕へ抜けます。電圧タップは残りの2本の腕で、そこを流れる電流はピコアンペア級です。理想どおりに動けば

R_{k} = \frac{ρ _{c}}{A}

で、 $A$ はコンタクト面積。ここまでは前節までの4端子の話がそのまま当てはまります。

$ρ_{c}$ は、界面を流れる電流密度を界面にかかる電圧で微分し、その逆数をゼロバイアスで取った量です。コンタクトの通しにくさを1つの数字へ畳んだ指標で、 $R = ρ_{c} / A$ という単純な形が使えるのは電流密度が面内で一様なときに限られます。電流密度が偏る場合は、下地のシート抵抗が絡んだ別の式が要ります。BEOLのCBKRで起きているのは、この偏りの一種です。しかも偏りが出る場所がコンタクトの内側より外側という点が、この節の主題になります。

水増しは幾何から来ます。コンタクトの窓は腕より小さく作るので、コンタクトの縁と腕の縁の間には $δ$ という余白が生まれます。電流はこの余白の中を横へ回り込み、その横流れが作る電圧降下まで電圧タップの読みへ加算されます。だから測定値 $R_{k}$ は $ρ_{c} / A$ より大きく、 $ρ_{c}$ を高めに示します。

4端子のコンタクト抵抗パターンでは、横方向の電流集中が測定値へ乗ります⁷。SchreyerとSaraswatはこれを2次元の解析モデルとして書き下ろし⁸、Stavitskiらは金属間コンタクトのCBKRを幾何を振って作り、 $R_{k}$ が $δ$ の増加とともに増え、コンタクト寸法の増加とともに減るという、このモデルどおりの傾向を実測しています²。同じ論文は、CBKRで正確に取り出せる $ρ_{c}$ の下限として先行研究が見積もった値を出発点に置き、その限界を金属間コンタクトの実測で確かめています。

対処は2方向です。

$δ$ を小さく作る。余白の大きさは重ね合わせ精度の側で確定するので、CBKRの設計はオーバーレイ予算と直結します。 $δ$ をゼロにする設計は、位置ずれで腕がコンタクトを切り欠くリスクと引き換えです。
補正式で引く。HollandらはCBKRの2次元近似が膜の有限な深さを落とす点を3次元解析で数え直し、縦方向の電圧降下まで含んだ汎用の誤差補正曲線を用意しています⁹。

補足

コンタクトの内側でも、電流の入り方は場所ごとに偏ります。Bergerは金属と下地層の界面を分布定数線路として書き、電流が縁から入って指数的に減衰する長さを転送長 $L_{T} = ρ_{c} / R_{sh}$ として与えました¹⁰。仮に $ρ_{c} = 1 \times 1 0^{- 8}$ Ω·cm²、下地の $R_{sh} = 100$ Ω/sq とすると $L_{T} = 100$ nm。コンタクトのうち電流が実際に通るのは、縁から $L_{T}$ 程度の帯です。

BEOLのビアは下地も金属です。前掲の $R_{sh} = 0.054$ Ω/sq を同じ $ρ_{c}$ と組み合わせると $L_{T} = 4.3$ µm となり、ビア径より桁で長くなります。ビアの断面はほぼ全面が電流を通すので、BEOLのCBKRでは、コンタクト内部の集中よりも外側の余白 $δ$ のほうが誤差の支配項になります。

via chain：N倍して雑音の上へ持ち上げる

Kelvinはビア1個の値を直接与えます。代わりに、ビア1個ぶんの信号は小さいままです。ここでチェーンが登場します。同じビアを $N$ 個、金属の短い橋で数珠つなぎにし、両端の2パッドから測ります。

R_{chain} = N R_{via} + R_{bridge}

$R_{chain}$ がチェーン全体の抵抗、 $N$ がビアの個数、 $R_{via}$ がビア1個の抵抗、 $R_{bridge}$ が橋になった金属ぶんの合計です。

仮に1個3 Ωのビアを $N = 1 0^{4}$ 個つなぐと30 kΩ。引き回しの1 Ωは全体の約0.003%にとどまるので、2端子で測っても十分な精度が出ます。パッドは2個で済み、Kelvinの半分です。

チェーンが払う代金は感度です。1個のビアが3 Ωから6 Ωへ倍増しても、チェーン全体の増加は3 Ω、つまり30 kΩの0.01%。ロット間のばらつきに埋もれる大きさです。同じ1個をKelvinで測れば3 Ωが6 Ω、2倍として読み取れます。

チェーンの強みは、精度より測る個数の側にあります。1つのTEGが $1 0^{4}$ 個のビアを一度に通電するので、 $1 0^{- 4}$ の桁で起きる稀な不良も1回の測定で捕まります。断線なら抵抗が振り切れるので、1個の異常が即座に読み取れます。チェーンをいくつかの区間へ分割して個別に測る設計にすれば、どの区間で断線したかまで絞り込めます。感度を捨てて母数を買い、区間分割で位置の情報を取り返す、という順です。

Kelvinとチェーンの使い分け

BuehlerとThurberは、十字型のシート抵抗テスト構造を実験的に比較しています。ブリッジとvan der Pauwのシート抵抗体で導電層の線幅を電気的に測る構造も報告されています。量産のTEGはこの系譜の上にあります。

構造	直接得る量	強み	代金
4端子Kelvin（CBKR）	ビア1個の抵抗 $R_{k}$	絶対値の精度。 $ρ_{c}$ まで届く	パッド4個。 $δ$ の幾何補正。孤立ビアのローディング
via chain	$N$ 個の直列合計	稀な不良の検出。パッド2個	1個あたりの平均値どまり。橋の金属抵抗を引く手間
十字ブリッジ	$R_{s}$ と電気的線幅 $W$	膜と寸法を同時に得る	十字の対称性と接点サイズへの前提
四探針	ベア膜の $R_{s}$	装置が単純で面内マップが速い	探針を立てる広さ。有限寸法の補正係数

量産ラインでは、この4つが返す数字の行き先も別々です。

四探針とvan der Pauwの $R_{s}$ は成膜とCMPへ。 $R_{s} = ρ / t$ なので、 $R_{s}$ の面内マップはそのまま膜厚のマップとして機能します。
電気的線幅 $W$ はリソとエッチへ。SEMのCDと $W$ の差分が、断面形状とバリアの取り分をあらわします。
CBKRの $R_{k}$ はビアのエッチ、洗浄、バリアとシードの成膜へ。界面の質がそのまま $ρ_{c}$ へ乗ります。
チェーンの抵抗値と断線本数は歩留まりへ。ここだけが個数を数える系統です。

理解チェック

四探針法とvan der Pauw法は、どちらも同じ係数 $π / ln 2 = 4.5324$ を使います。一方は等間隔に立てた探針の幾何から、もう一方は任意形状の対称性から、同じ数字へたどり着きます。手元のTEGでどちらを選ぶかを、「パッドの広さ」と「膜の形」の2語で言えますか。

答え：四探針は膜の上へ探針4本を直接立てる方法なので、使えるのは針が立つだけの広さがあるベア膜に限られる。300 mmウェーハに間隔1 mmで立てれば $D / s = 300$ となり、補正係数は無限大の 4.5324 とほぼ一致するので、係数を疑わずに面内マップが取れる。ところがスクライブラインは一辺が数十µmの幅で、探針の設置面積を下回るうえ、入っても $D / s$ が小さすぎて係数が削られる。だからTEG側では、膜へ針を立てる代わりに膜の形をこちらで固める——ギリシャ十字にして4本の腕をそのまま4接点にする——van der Pauw を選ぶ。パッドの広さの不足を、任意形状という自由を手放して対称性で埋める、という交換になる。

抵抗を正しく測る

2端子のV/Iには、余計な抵抗が足し算で乗る

四端子（Kelvin）：電流の道と電圧の道を分ける

四探針法：探針の並べ方そのものが幾何係数を与える

なぜオーム毎スクエアが膜の自然な単位なのか

有限の大きさは係数を削る

van der Pauw：形の自由と、その代金

スクライブラインで使う形はギリシャ十字

CBKR：ビア1個の抵抗と、幾何が生む水増し

via chain：N倍して雑音の上へ持ち上げる

Kelvinとチェーンの使い分け

出典

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2端子のV/Iには、余計な抵抗が足し算で乗る

四端子（Kelvin）：電流の道と電圧の道を分ける

四探針法：探針の並べ方そのものが幾何係数を与える

なぜオーム毎スクエアが膜の自然な単位なのか

有限の大きさは係数を削る

van der Pauw：形の自由と、その代金

スクライブラインで使う形はギリシャ十字

CBKR：ビア1個の抵抗と、幾何が生む水増し

via chain：N倍して雑音の上へ持ち上げる

Kelvinとチェーンの使い分け

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