EM 試験の実験計画：寿命だけを最適化すると初期故障が埋もれる

EM 寿命を最適化する DOE で、応答に $t_{0.1\%}$ を使ったところ、検証点の一部で回帰誤差が 120% になりました。モデルの形より手前、因子の選び方より手前に原因がありました。たった 4 件のデータです。4 件が、どうやって 120% を作るのか。

ユニフォームデザインで EM 寿命を最適化した 2015 年の研究¹1Yang ほか, Electromigration Lifetime Optimization by Uniform Designs and a New Lifetime Index (2015)に、その顛末が書かれています。原因は 4 件の初期故障でした。

この初期故障が最初の計算を歪め、導いた $t_{0.1}$ が真の真性故障寿命から離れていました。

対策が 2 段階で、2 番目が本質的です。

1. 生データを取り直して整え、4 件の初期故障を除外する。真性故障だけに絞れば、$t_{0.1}$ は部品の真性寿命を正しく表す。

1. 第 2 の応答を導入する。「真性故障の割合」。

真性の $t_{0.1\%}$ と、真性故障の数を両方とも応答に組み込めば、実験をモデルごと組み直せます。

なぜ 4 件で 120% になるのか

4 件という数の小ささと、120% という誤差の大きさが、釣り合いを欠いて映ります。釣り合う理由は、$t_{0.1\%}$ が外挿で決まる量だからです。等温 EM 試験そのものにも、実務上の注意点²2Huang ほか, Some practical concerns on isothermal electromigration tests (2001)と温度勾配の影響³3Leong ほか, The influence of temperature gradients in isothermal electromigration tests (2001)がまとめられています。手を動かします。

ワイブル確率プロットの縦軸は、故障率 $F$ を2回対数へ通したものです。

$\beta$ が形状パラメータ（プロットの傾き、無次元）、$\tau$ が特性寿命。$Y$ が $\ln t$ の一次式なので、縦軸のある点から別の点までの距離は、$\beta$ で割って時間に直すことになります。

外挿の距離を測ります。目標は $F=0.1\%$ なので $Y=\ln [-\ln (0.999)]=-6.91$。一方、1 条件あたり 20 個測ったとすると、中央順位で最も下にある点は $F=(1-0.3)/(20+0.4)=3.4\%$、$Y=-3.35$。差は 3.55 です。

$\beta =2.6$（後で出てくる TDDB 試験の傾きを借ります）なら $\Delta \ln t=1.37$、倍率にして $e^{1.37}=3.9$。$t_{0.1\%}$ は、実際に観測した最短寿命よりさらに 4 倍ほど下、観測範囲より下の時刻にあります。

4 件が乗るのはここです。外挿の距離は $1/\beta$ に比例するので、傾きが寝れば外挿は伸びます。$\beta$ が 2.6 から ${\beta }^{\prime }$ へ変わったときの $t_{0.1\%}$ の比は

120% の誤差、つまり 2.2 倍のずれを作るのに要る ${\beta }^{\prime }$ は 1.65 です（上式を解いた。この記事での計算）。傾きが 2.6 から 1.65 へ、37% 寝るだけで足ります。

初期故障 4 件は、まさにその傾きを与える場所に座っています。分布の下端に別の母集団が混ざれば、当てはめた直線は必ず寝る。$n=20$ なら下から 4 点は最下位 20% で、外挿の起点になる区間そのものです。「異常点が少し混ざった」より、傾きを与える区間を占領されていた、というのが 120% の中身でした。

対策1（除外）が乗る理由も、これで分かります。除外は「不要なデータを捨てる」操作より、外挿の起点を真性故障だけで引き直す操作です。

モデル構築の手順も具体的でした。両方の応答に対して同じステップワイズ回帰を適用し、効果の遺伝性（effect heredity）と最小 AICc の原則で最良モデルを選ぶ。

真性故障数のモデルで選ばれた項は、X1〜X6 の主効果と、X1×X5、X3×X5 の 2 つの交互作用。

結果。「最適条件を 3 枚のウェーハで検証し、初期故障なしにはるかに長い寿命が得られることを確かめた。ベースラインの約 30 kh よりはるかに良い。」

さらに、最適化した EM 性能を量産ラインへ実装して毎週監視しており、$t_{0.1\%}$ と初期故障数が統計的に安定している、と報告されています。DOE の結果が、そのまま管理項目になっています。

2 つの応答が対立する理由は、粒界にある

ここまでは「粒径を大きくすれば真性寿命は伸びるが、初期故障が増える」とだけ置きました。その機構は、EM の故障条件そのものまで下りると浮かびます。薄膜のエレクトロマイグレーションと空隙形成90164-2)が、その条件を早い時期に定めています。

エレクトロマイグレーション単独では、原子束の発散が立つ場所があって初めて金属線に故障が起きます。そのような発散は三重点と、小さい粒から大きい粒への継ぎ目に生じます。小→大の粒界では質量が蓄積し、大→小の粒界では質量の欠乏が観察されます。

故障するのは「原子が動く場所」より「原子の出入りが釣り合いを欠く場所」です。

これで 2 つの応答が分離します。

• 真性寿命 ← 粒内拡散と粒界拡散の速さ。「粒内拡散の活性化エネルギーは粒界拡散より高い」ので、粒界を減らすほど遅くなる
• 初期故障 ← 発散点が 1 個でもあるかどうか。分布の裾の話で、平均とは別

同じ微細構造という 1 つの摘みが、片方には平均として、もう片方には裾として乗ります。だから対立するのであって、偶然そう映っているわけとは別です。

極端な例が数字で出ています。単結晶と多結晶の Al 線を同一条件（175 °C、$2\times 10^6$ A/cm²）で試験した 1970 年の報告⁴4d'Heurle, Electromigration in single-crystal aluminum films (1970)では、多結晶線が 30 時間で故障したのに対し、単結晶線は 26,000 時間後も無傷でした。

粒界を全部消すと、寿命が 3 桁近く伸びます。現実的な近似が、線が細くなると三重点ゼロの確率が高くなること。バンブー構造がそれです。

だから粒径の摘みは「大きくする」より「三重点を消す」方向へ回すのが正解です。粒を大きくしても、小→大の遷移が 1 か所残れば、そこが発散点として初期故障を作ります。

DOE が第 2 の応答として測っている「真性故障の割合」は、この発散点の個数を数えていることになります。直接の数え上げは手の外なので、故障の出方から数えている。

SM（ストレスマイグレーション）も同じ質量輸送の裏表なので、因子が重なります。EM の DOE で粒構造を動かすなら、SM 側の応答も同時に載せてください。片方を直して片方を壊します。

比較のための現実的な打ち手もあります。Al 膜へ銅をドープすると EM が減ること90764-5)は 1971 年に報告されていて、4 wt% の Cu で寿命が 70 倍になりました。粒界拡散を不純物で遅らせる方向です。867 倍（構造）と 70 倍（組成）。DOE で振る因子の振れ幅の目安になります。

18 回で済ませる

実験回数の削減も具体的でした。

前提が 2 つ。

装置：PLR EM 試験設備の容量が限られており、1 実験あたり DUT ボードが 2 枚要る。総ラン数が 32 を超えると、追加の炉が必要になり、実験完了に要する時間が実質倍になる。

より重大な懸念。「より多くの炉、DUT ボード、ラン数を使うことで、ばらつきが増える可能性がある。」

ロットサイズ：25。

古典的な計画では扱えません。

29 でもロットサイズ 25 を超えます。そこで 効果のスパース性（effect sparsity）を使う。

3X／4X 則。2 次モデルで実際に効いている効果の数は、モデル中の因子数のおよそ 3 倍か 4 倍どまりだ、という経験則です。

因子 6 個 × 3 = 18。これで 18 ランに決めています。

水準数の割り当てが巧みでした。より重要な変数へ、より多くの水準を割り当てる。

X1 から X6 に、4、5、4、6、4、6 水準。

採用したのは U18(4×5×4×6×4×6) のユニフォームデザイン。一様性の指標である中心化 L2 乖離度（CD2）は 0.05195。実験点を一様に散らすという発想そのもの⁵5Wang・Fang, A Note on Uniform Distribution and Experimental Design (2005 再録)は、数論的な一様分布の研究から出ています。

因子ごとに水準数を変えられるのが、ユニフォームデザインの実用上の強みです。直交表だと水準数を揃える必要があります。

ベースライン（現行工程の標準条件）をウェーハ #12 として実験に含めている点も要点です。同じロット・同じ試験で比較できる基準点を、必ず 1 つ入れる。

エンジニアリングの直感と専門的な判断で選んだ「extra」の実験点も足してあります。計画に従うだけでなく、勘で足す枠を残している。

ワイブル確率プロットの点の間隔で、捏造が分かる

データの完全性を疑うとき、実用的な検出の手がかりが 1 つあります。EM 寿命を 2 応答で最適化した研究¹も、最初に疑ったのはモデルより生データの側でした。

疑わしい結果の原因は 4 つに割れます。異常な装置／試料、誤ったデータ解析、テンプレートの誤用、そして意図的な改竄。最後のものがいちばん重く、しかも運用規律の問題なので、技術的な検算では扱えません。

そこで手がかりになるのが、WPP（ワイブル確率プロット）の Y 軸の変換です。この変換のせいで、上側のパーセンタイルは下側より密に並びます。

この密度の非対称性が、そのまま検査項目になります。

WPP の Y 軸は $\ln [-\ln (1-F)]$ です。中央順位を使うと、$n$ 個のデータ点の $F$ は概ね等間隔に並びますが、変換後の Y 座標は等間隔を崩します。

• $F$ が小さい側（下側）：$\ln [-\ln (1-F)]$ の変化が大きい → 点が疎になる
• $F$ が大きい側（上側）：変化が小さい → 点が密になる

だから正しいデータのプロットは、下が疎で上が密です。

ただし「上ほど密」は、途中で反転する

この形を検査項目にするなら、どこで密度が最大になるかを知っておく必要があります。変換の式を陽に書きます。

$Y$ 座標の間隔は $F$ について微分すれば出ます。

間隔が最小、つまり最も密になるのは、分母が最大になるところです。$u=1-F$ とすると分母は $-u\ln u$ で、$d(-u\ln u)/du=-(\ln u+1)=0$ より $u=1/e$。

63.2% でいちばん密になり、そこから上は再び広がります。この 63.2% は、ワイブル分布の特性寿命のパーセンタイル $F(\tau )=1-e^{-1}$ そのものです。間隔が最小になる点と、$t=\tau$ の点が一致します。

10 点のデータに中央順位 $F_i=(i-0.3)/(n+0.4)$ を当てると、$Y$ の隣接間隔はこうなります。

下端の 0.941 から中盤の 0.263 へ 3.6 分の 1 に詰まり、上端で 0.399 へ戻ります。

だから「単調に詰まっていく」を検査条件にすると、本物のデータを弾きます。正しい検査条件は、下から急に詰まり、63% 付近で最小になり、最上位でわずかに広がるという U 字です。「上側は下側よりはるかに密」という言い方は、両端を比べれば正しい（0.399 対 0.941）けれども、途中の形までは言い当てていません。

捏造されたデータは、たいてい間隔を等間隔か単調にします。当たるべきは最小点の位置です。

例で当たります。傾き $\beta$ = 2.60、当てはまりも良好（$R^2$ = 0.99）という TDDB 試験のデータを考えます。それでも注意深く調べると、引っかかる点が出てきます。

$R^2$ が高いことと、データが本物であることは別です。むしろ 作られたデータほど直線に乗ります。

点の間隔のパターンは、$R^2$ には表れません。別の目が要ります。

分布の割り当ては、20 年そのまま

どの分布を何に使うかの対応は、現場でほぼ固まっています。目録として添えます。

分布どうしの関係も掴んでおくと早い。Poisson–二項、二項–幾何、幾何–超幾何、Poisson–指数、ワイブル–指数、そしてワイブル–最小極値分布（LEV）。

ワイブル–LEV の関係がいちばん実務的です。ワイブル分布の対数は最小極値分布になるので、WPP が直線になる。最も弱い箇所が壊れる（最弱リンク）現象がワイブルになる理由も、そこにあります。同一で独立な競合故障過程が多数あって、最初にある臨界点へ達したものが故障時刻を与える——という描像です。

この割り当ては、この 20 年でほぼそのままです。動いたのは、当てはめたあとの使い方（逐次検定、ベイズ更新、ユニフォームデザイン）のほう。新しい手法を疑う前に、分布の選択まで疑い直す手間は省けます。

分布を決めた先で効いてくるのが、この記事の冒頭で見た 2 応答の設計¹です。

実務での使い方

等温 EM 試験には、温度勾配という測定側の落とし穴³もあります。下の 6 点は、その手前で効いてくる設計の話です。

寿命の DOE には、必ず「真性故障の割合」を第 2 の応答として入れてください。寿命だけを最適化すると、初期故障が増える方向へ進みます。

初期故障を除外したら、除外した件数を残してください。それが第 2 の応答です。

因子ごとに重要度が別なら、水準数を変えてください。ユニフォームデザインなら、そこに自由があります。

因子数の 3 倍のラン数から始めてください。効果のスパース性が根拠です。

ベースライン条件を、必ず同じ実験の中に入れてください。別ロットの過去データは比較に使えません。

WPP は、下が疎で中盤が最も密、最上位でわずかに広がるのが正常です。等間隔に映ったら疑ってください。ただし「上へ行くほど単調に詰まる」を条件にすると、本物を弾きます。

ただし最も密になるのは 63.2%（特性寿命）で、そこから上は再び広がります。単調に詰まっていくことを条件にすると、本物を弾きます。

粒構造を振るなら、「粒を大きくする」より「三重点を消す」方向で考えてください。発散点が 1 個残れば、そこが初期故障になります。

$R^2$ の高さは、データが本物であることの証拠になりません。

WECO 則が拾えるのは、非単調なトレンドの手前までです。山型や周期的な変動を拾いたいなら、別の検定が要ります。

同じ構図が、量産の管理図にもあります。DOE の応答が寿命1本だったように、SPC も1種類のルールで回されていて、そこから漏れる型がある。この記事の締めくくりは「最適化した EM 性能を量産ラインで毎週監視している」でした。その監視の視野から漏れるものを掴んで初めて、締めくくりが締めくくりになります。WECO は「連続7点が上昇」のような単調性を追うので、$t_{0.1\%}$ と初期故障数が山型に動いたときには、どのルールも沈黙します。信頼性の第1回で追った穴が、そのままここへ戻ってきます。