等価 CTE の誤差：厚み加重と剛性加重の差は共分散そのもの

積層を有限要素で 1 つの等価ブロックへ潰すとき、その熱膨張係数を厚みで平均する解析があります。その平均は、いつ正しくて、いつ 2 倍ずれるのか。

その形から、よく使われる見分け方——「厚みでも剛性でも支配する層があるか」——が使えない理由も出ます。銅が両方で支配していても、2.11 倍ずれます。

力の釣り合いから、重みが $E_{i} t_{i}$ で出る

層が互いに固着していれば、面内ひずみは全層で共通です。層 $i$ の面内応力は

σ_{i} = E_{i} (ε - α_{i} Δ T)

外力が無いので、断面の力の総和はゼロです。

i \sum σ_{i} t_{i} = 0 ⟹ i \sum E_{i} t_{i} (ε - α_{i} Δ T) = 0

$ε$ について解くと、複合体の自由膨張ひずみが出ます。

ε = Δ T \frac{\sum _{i} E _{i} t _{i} α _{i}}{\sum _{i} E _{i} t _{i}} ⟹ α_{eff} = \frac{\sum _{i} E _{i} t _{i} α _{i}}{\sum _{i} E _{i} t _{i}}

重みは $t_{i}$ ではなく、 $E_{i} t_{i}$ のほうです。熱曲げを受ける複合材の等価 CTE を正面から主題にした1999 年の研究¹や、3 相系で等価剛性と熱膨張を同時に求める2021 年の報告²が対象にするのも、この形です。

仮定は 3 つだけです。面内応力の総和がゼロ、全層が完全に固着、材料は線形弾性。どれも積層の面内では素直に成り立ちます。

弾性率は厚み加重で正しい——分母だけが入れ替わる

同じ仮定から、面内弾性率も出ます。単位幅の断面へ面内力 $F$ を掛けると、層 $i$ が受け持つ力は $E_{i} t_{i} ε$ 。合計が $F$ なので

F = ε i \sum E_{i} t_{i}

ブロック全体の見かけの応力は $F$ を全厚で割ったものなので

E_{eff} = \frac{σ}{ε} = \frac{\sum _{i} E _{i} t _{i}}{\sum _{i} t _{i}}

こちらは厚み加重平均です。サンドイッチ構造の等価弾性率を実測と突き合わせた2003 年の研究³が対象にする形でもあります。

2 つの式を、同じ行へ書き出します。

E_{eff} = \frac{\sum E _{i} t _{i}}{\sum t _{i}}, α_{eff} = \frac{\sum E _{i} t _{i} α _{i}}{\sum E _{i} t _{i}}

分子はどちらも $E_{i} t_{i}$ を含み、分母だけが入れ替わります。弾性率は $\sum t_{i}$ で、熱膨張は $\sum E_{i} t_{i}$ で割る。

この 1 か所の入れ替わりが、事故の源です。弾性率を厚み加重で求めた手が、そのまま熱膨張へ伸びます。片方は正しく、もう片方は過大に出る。

2 つの差は、剛性と膨張の共分散そのもの

ずれの大きさを閉じた形で求めます。厚み分率を $ϕ_{i} = t_{i} / \sum t_{j}$ とします。

α_{thick} = i \sum ϕ_{i} α_{i}, E ˉ = i \sum ϕ_{i} E_{i}, α_{stiff} = \frac{\sum _{i} ϕ _{i} E _{i} α _{i}}{E ˉ}

差を取ります。

α_{stiff} - α_{thick} = \frac{\sum ϕ _{i} E _{i} α _{i}}{E ˉ} - \sum ϕ_{i} α_{i} = \frac{\sum ϕ _{i} E _{i} α _{i} - E ˉ \sum ϕ _{i} α _{i}}{E ˉ}

分子は、 $ϕ_{i}$ を重みとする共分散そのものの形です。

α_{stiff} = α_{thick} + \frac{Cov _{ϕ} ( E , α )}{E ˉ}

Cov_{ϕ} (E, α) = i \sum ϕ_{i} E_{i} α_{i} - (i \sum ϕ_{i} E_{i}) (i \sum ϕ_{i} α_{i})

層数は何枚でも成り立ちます。3 つの積層で確かめます。

積層	$E ˉ$	$α_{thick}$	$Cov_{ϕ} (E, α)$	$Cov / E ˉ$	$α_{stiff}$
超大型インターポーザ	47.70	43.22	−1,230.1	−25.79	17.43
感光性誘電体の積層	68.54	35.58	−1,281.0	−18.69	16.89
ビルドアップフィルムの積層	65.32	26.45	−587.2	−8.99	17.47

3 つとも、厳密に一致します。

符号の意味がそのまま読めます。硬い層が低膨張の層でもあるとき、共分散は負。

硬い層 = 低膨張の層 \Rightarrow Cov < 0 \Rightarrow α_{thick} が過大

金属と樹脂を混ぜた積層は、ほぼ必ずこの形です。金属は硬くて膨張が小さく、樹脂は柔らかくて膨張が大きい。厚み加重は必ず過大に出ます。

共分散がゼロになる場合も、式が教えてくれます。 $E_{i}$ が全層で同じか、 $α_{i}$ が全層で同じなら、共分散は消えて 2 つの平均が一致します。上界と下界が一致する条件を主題にした2021 年の二軸弾性率の研究⁴と、同じ構図です。

「両方で支配する層がある」では見分けられない

よく使われる見分け方を、この式で検査します。「等価ブロックの中に、厚みでも剛性でも支配する層があれば、厚み加重のままで実害が出る手前に留まる」というものです。

感光性誘電体の積層で確かめます。銅 19 µm（121 GPa、16.3 ppm/K）と誘電体 15 µm（2.1 GPa、60 ppm/K）。

層	厚みの割合	剛性の割合
銅	55.9%	98.6%
誘電体	44.1%	1.4%

銅が両方で支配しています。ところが

\frac{35.58}{16.89} = 2.11

2.11 倍ずれます。見分け方が機能していません。

理由は式にあります。共分散は「どの層が支配するか」より、 $E$ と $α$ が層をまたいでどれだけ逆向きに並んでいるかで決まります。銅が剛性の 98.6% を持っていても、残る 1.4% の相が $α$ で 3.7 倍離れていれば、共分散はそのまま残ります。

正しい見分けは、共分散そのものか、その等価な形です。相の数が増えても剛性と熱膨張を同じ重みの上で同時に求める2021 年の 3 相系の報告²が示すとおり、要るのは支配関係より重みの分布のほうです。

m_{i} = \frac{E _{i}}{E ˉ}

積層	支配する層の $m$
超大型インターポーザ（銅）	$121/47.70 = 2.54$
感光性誘電体の積層（銅）	$121/68.54 = 1.77$
ビルドアップフィルムの積層（銅）	$121/65.32 = 1.85$

$m$ が 1 から離れるほど、剛性の重みと厚みの重みが割れます。3 つとも 1.7 を超えています。厚みと剛性の「支配」が揃っていても、重みの分布は別々のままです。

比較が反転する：9.13 高いから 0.58 低いへ

いちばん困るのは、絶対値より比較のほうです。同じ設計のインターポーザを、2 種類の誘電体で作って比べます。

誘電体	銅	樹脂	$E_{eff}$
感光性誘電体	19 µm	15 µm、2.1 GPa、60 ppm/K	68.54 GPa
ビルドアップフィルム	27 µm	26 µm、7.5 GPa、37 ppm/K	65.32 GPa

2 つの等価 CTE を、2 通りの重みで求めます。どちらの重みで平均しても、熱曲げの下で複合体が示す膨張は1999 年の研究¹が対象にする 1 つの量へ収束するはずで、以下はその 2 通りの見積もりです。

	感光性誘電体	ビルドアップフィルム	差
厚み加重	35.58	26.45	前者が 9.13 高い（+34%）
剛性加重	16.89	17.47	前者が 0.58 低い（−3.3%）

符号が反転します。

厚み加重では「感光性誘電体のインターポーザは 34% 膨張しやすい」と読めます。剛性加重では 3.3% 低い。ほぼ同じです。

理由は銅の剛性寄与です。前者は銅が 98.6%、後者は 94.4%。どちらも銅の 16.3 に張り付くので、差が出る余地は別のところにあります。

E_{eff} : 68.54 対 65.32 \to 4.9% の差

弾性率の差も 5% どまりです。つまり剛性加重で作り直すと、2 つの等価ブロックはほぼ同じブロックになります。

そうすると、この 2 つを有限要素で比べる意味が動きます。等価ブロックへ落とした時点で、2 つの誘電体の違いは弾性率の 5% だけ。実際に観測された差は、等価ブロックが捨てた情報から来ているはずです。

下流まで通すと、5.93%/サイクルが 2.56% になる

重みの誤りが、解析の出力で何になるか。サンドイッチ構造で等価弾性率を実測と突き合わせた2003 年の研究³のように、等価物性は最終的に実測と照らす対象です。非弾性ひずみを作るのはシリコン（2.7 ppm/K）との差なので

\frac{16.89 - 2.7}{35.58 - 2.7} = \frac{14.19}{32.88} = 0.432

熱膨張差が 0.43 倍。逆に言えば、厚み加重のままの解析は実物より 2.32 倍厳しい世界で設計しています。

非弾性ひずみは差にほぼ比例するので、細いバンプの 5.93%/サイクルという予測は

5.93% \times 0.432 = 2.56% / サイクル

5.93% と 2.56%。どちらを見て「細いバンプが弱点だ」と言うかで、対策へ振る予算の桁が動きます。

安全側へ倒れているように映ります。ところが安全側へ倒れた解析は、効かない対策を正当化するので、費用の側で必ず返ってきます。

温度でもう一度反転する

比較はもう一度ひっくり返ります。今度は温度で。

誘電体	25〜150 ℃ の CTE	$T_{g}$	150〜240 ℃ の CTE	弾性率	破断伸び
感光性誘電体	60	300 ℃	—	2.1 GPa	60%
ビルドアップフィルム（インターポーザ）	37	156 ℃	98	7.5 GPa	5.4%
ビルドアップフィルム（基板）	39	153 ℃	117	5.0 GPa	5.6%

室温では 37 < 60 で、ビルドアップフィルムが有利に映ります。

ところが実装のピークは 245 ℃ です。

T_{g} = 156^{\circ} C < 245^{\circ} C \Rightarrow リフロー中はずっとガラス転移点の上

37 \to 98 (2.65 倍)

感光性誘電体は $T_{g}$ 300 ℃ なので、ピークがその手前で止まります。60 のまま。

室温 : 37 < 60 リフロー中 : 98 > 60

順序が逆になります。熱応力が熱膨張係数とガラス転移点の両方を動かすことは1977 年の研究⁵が主題にしており、 $T_{g}$ を跨ぐかどうかは材料の性質より、工程の温度が決めます。

室温の表だけで材料を選ぶと、組立温度で逆の材料を選んだことになります。

壊れたのは CTE 差が小さいほう

実測の結果が、さらにもう一段ひっくり返します。チップと基板を接合した後の導通試験で、ビルドアップフィルム側だけが全数合格の手前で止まりました。壊れたのはインターポーザと基板の間の接合部です。

その接合部を挟む 2 者の CTE 差を出します。リフロー中なので、どちらもガラス転移点より上の値を使います。

	インターポーザ側	基板側	差	200 K での強制ひずみ
感光性誘電体	60	117	57 ppm/K	1.140%
ビルドアップフィルム	98	117	19 ppm/K	0.380%

壊れたほうが、差が小さい。57 対 19 で、3.0 倍の開きが逆向きです。

熱膨張差は、この結果の順序を決めていません。効いているのは別の量です。

破断伸び : 60% 対 5.4% = 11.1 倍

容量と要求を、同じ単位へ揃えます。

	容量（破断伸び）	要求（強制ひずみ）	余裕
感光性誘電体	60%	1.140%	53 倍
ビルドアップフィルム	5.4%	0.380%	14 倍

3.0 倍きつい要求を受けながら、余裕は 3.7 倍あります。高い伸びを持つ感光性誘電体材料の開発そのものを主題にした2017 年の報告⁶や、サブミクロン解像と低誘電率を両立させた2025 年の感光性ポリイミド基板の研究⁷、そしてビルドアップフィルム側の低損失化を主題にする2025 年の報告⁸があるとおり、この 2 系統は別々の軸で伸びています。

柔らかくてよく伸びる側 \Rightarrow 差を自分の変形で吸収する

硬く、伸びの乏しい側 \Rightarrow 差を接合部へ送る

ひずみの行き先を定める問題です。このどちらも、均質な等価ブロックでは表せません。破断伸び 11.1 倍も、 $T_{g}$ の 144 ℃ 差も、等価ブロックが持つ 2 つの数字には入っていません。

重みを直すと差が消えて、本当の原因を探しにいく必要が出ます。厚み加重で 9.13 ppm/K の差が立っているうちは、その差が結論を作っているように映ってしまいます。

等価 CTE の誤差：厚み加重と剛性加重の差は共分散そのもの

力の釣り合いから、重みが $E_{i} t_{i}$ で出る

弾性率は厚み加重で正しい——分母だけが入れ替わる

2 つの差は、剛性と膨張の共分散そのもの

「両方で支配する層がある」では見分けられない

比較が反転する：9.13 高いから 0.58 低いへ

下流まで通すと、5.93%/サイクルが 2.56% になる

温度でもう一度反転する

壊れたのは CTE 差が小さいほう

出典

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力の釣り合いから、重みが Ei​ti​ で出る

弾性率は厚み加重で正しい——分母だけが入れ替わる

2 つの差は、剛性と膨張の共分散そのもの

「両方で支配する層がある」では見分けられない

比較が反転する：9.13 高いから 0.58 低いへ

下流まで通すと、5.93%/サイクルが 2.56% になる

温度でもう一度反転する

壊れたのは CTE 差が小さいほう

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