光子不足が生む確率的欠陥

同じ設計の穴を並べて露光したのに、どれか1つだけが閉じたまま残る。同じ線を並べたのに、1本だけ途中で隣とつながる。装置もマスクもレシピも同じで、隣の穴は開いています。なぜ、同じ条件から別の結果が出るのか。この回はその答えを、光子1個のエネルギーという1つの数字から組み立てます。

骨格は掛け算1本です。波長を短くすると同じ露光量でも光子の個数が減り、そこへ寸法の縮小が掛かる。穴1個に届く光子が数千個まで落ちると、個数のゆらぎが設計寸法に対して無視できなくなります。以下では、その掛け算をたどり、ゆらぎがレジストの化学でどう運ばれるのかを見て、最後に壊れ方の名前と線量の選び方へ降ります。

光子1個のエネルギーが14.3倍になると、個数は14.3分の1になる

露光量はいつも mJ/cm²、つまり単位面積あたりのエネルギーで語られます。ところがレジストの中で反応を起こすのは、エネルギーの総量そのものよりも光子の個数です。Brainardらは、EUVレジストのショットノイズとLERを量子効率とあわせて報告しています¹1R. L. Brainard ほか, Shot noise, LER and quantum efficiency of EUV photoresists (2004)。この2つの間には光子1個のエネルギーが挟まっていて、波長を変えるとここが動きます。

光子1個のエネルギーは

$E$ が光子1個のエネルギー、$h$ がプランク定数、$c$ が光速、$\lambda$ が波長です。

• 13.5 nm → $1239.84/13.5=91.8$ eV
• 193 nm → $1239.84/193=6.42$ eV

比は $91.8/6.42=14.3$。これは波長の比 $193/13.5$ とそのまま同じです。エネルギーが波長に反比例するので、比が一致します。

次に、同じ 1 mJ/cm² を届けたときの個数を数えます。$1{\text{mJ/cm}}^2=1\times 10^{-3}{\text{J/cm}}^2$ で、$1{\text{cm}}^2=1\times 10^{14}{\text{nm}}^2$ なので、1 nm² あたり $1\times 10^{-17}$ J。これを光子1個のエネルギーで割ります（$91.8\text{eV}=1.471\times 10^{-17}$ J、$6.42\text{eV}=1.029\times 10^{-18}$ J）。

相対ゆらぎは $1/\sqrt{N}$ に従う

光子はそれぞれ独立に到達するので、ある面積に届く個数はPoisson分布に従います。平均 $N$ のPoisson分布では標準偏差が $\sqrt{N}$ になり、相対的なゆらぎは

$N$ がその面積に届く光子の平均個数、$\sigma$ がその標準偏差です。

$N=100$ なら 10%、$10^4$ なら 1%、$10^6$ なら 0.1%。桁を4つ稼いで、ようやくゆらぎが1桁縮みます。この鈍さが光子ショットノイズの厄介さです。EUVレジストのLERを光子数とレジストの量子効率から予測する枠組みです¹。

具体的な数字を入れます。線量 30 mJ/cm² を仮定して、193 nm 世代の CD 90 nm のコンタクトと、EUV の CD 16 nm のコンタクトを比較します（この2つのCDは世代感を持たせるための例示値です）。

• CD 90 nm の穴：面積 $\pi \times 45^2=6360$ nm²、光子密度 $9.72\times 30=291.5$ 個/nm² → $1.85\times 10^6$ 光子
• CD 16 nm の穴：面積 $\pi \times 8^2=201$ nm²、光子密度 $0.680\times 30=20.4$ 個/nm² → $4.10\times 10^3$ 光子

穴1個に届く光子数は 452分の1になります。面積が 31.6分の1、光子密度が 14.3分の1、この2つの積です。相対ゆらぎは $\sqrt{452}=21.3$ 倍に膨らみ、0.073% から 1.6% へ跳ね上がります。

$3\sigma$ で報告される指標と、$10^{-11}$ の裾は別物です。1つの層に並ぶコンタクトはダイあたり $10^8$〜$10^9$ 個の桁、ウェーハ1枚では $10^{10}$〜$10^{11}$ 個の桁に達します。ウェーハ1枚あたりの欠損を1個以下へ抑える話は、穴1個あたりの失敗確率を $10^{-11}$ より下へ押し下げる話になります。正規分布の片側裾が $10^{-11}$ になるのは、平均から約 $6.7\sigma$ 離れた位置です。

計測で得られるのは $3\sigma$ のLCDUなので、そこから $6.7\sigma$ の裾を外挿する形になります。EUVの確率的な印刷失敗は大量の実測から数え上げられ、失敗確率は線量とともに急峻に変化します²2P. De Bisschop, E. Hendrickx, Stochastic printing failures in EUV lithography (2018)。実測の裾は正規分布より厚く伸びるため、3σ からの外挿は失敗数を低く見積もります。

穴1個あたりの失敗確率を、ウェーハ1枚の話へ翻訳する式は歩留まりの側にあります。面積 $A_t$ の中に密度 $D_0$ で欠陥がばらまかれるとき、そこに欠陥がゼロ個で済む確率は

$Y$ が歩留まり、$D_0$ が単位面積あたりの欠陥数（欠陥/cm²）、$A_t$ が対象の面積（cm²）です。Poissonの欠陥モデルと呼ばれます。穴1個あたりの失敗確率 $p$ と穴の個数 $n$ で書き直せば $D_0{A}_t=np$ にあたるので、$n$ が $10^{11}$ の桁にいるなら $Y$ を保つ条件は $p<10^{-11}$ で、さきほどの要求がそのまま出てきます。確率的欠陥が「密度」で語られるのは、この式へ直接入るからです。

化学を動かすのは、光子が生んだ電子

91.8 eV の光子がレジストに吸収されると、その場から光電子が1個放出されます。有機分子のイオン化エネルギーは10 eV の桁なので、91.8 eV のうち大半が光電子の運動エネルギーになります。この電子は進みながら別の分子をイオン化し、二次電子を次々に生みます。

光子1個の吸収から、相関を持った反応のかたまりが1つ生まれる、という描像になります。福田は、この二次電子の局在とカスケードこそが確率的欠陥の主因になると論じています³3H. Fukuda, Localized and cascading secondary electron generation as causes of stochastic defects in extreme ultraviolet projection lithography (2019)。

ここから統計へ届く経路は2本あります。

1. ぼけ。電子は熱化するまで散乱を繰り返しながら移動するので、化学が起きる場所は光学像から数nmの桁でずれます。低エネルギー電子の散乱シミュレーションは、有機系と無機系の双方でこの飛程を計算します⁴4A. Vaglio Pret ほか, Modeling and simulation of low-energy electron scattering in organic and inorganic EUV photoresists (2017)。飛程の具体値は組成で動くため、ここでは桁だけを記します。
2. 相関。1個の光子から生まれた電子群は互いに近い場所で反応します。反応を $M$ 個数えても、独立な事象の個数は $M$ より小さいままなので、ゆらぎは $\sqrt{M}$ から推測される値より大きくなります。

CARは統計の段数を増やす

CARでは、電子がPAG（光酸発生剤）を反応させて酸を1個作り、ベーク中にその酸が触媒として何十個もの保護基を外して回ります。感度を稼ぐ仕組みが、そのまま統計の段数になります。Rathsackらは、解像度・LER・感度のトレードオフをマイクロブリッジ欠陥と結び付けて報告しています⁵5B. Rathsack ほか, Resist fundamentals for resolution, LER, and sensitivity (RLS) performance tradeoffs and their relation to micro-bridging defects (2009)。

酸拡散は両刃です。酸が動くとゆらぎが平均化されて輪郭は滑らかになりますが、同じ動きが光学像のコントラストを鈍らせます。クエンチャーは酸を中和して実効的な拡散距離を詰め、輪郭を鋭く保ちます。ただしクエンチャー自身も離散な分子なので、局所的にクエンチャーが密な場所では酸が消え、そこが欠陥の起点になります。

メタルオキサイドレジストは吸収を上げ、ぼけを縮める

メタルオキサイドレジストは Sn・Zr・Hf といった金属を骨格に持ちます。13.5 nm（91.8 eV）での光吸収断面積は C・H・O よりこれらの金属で大きく、同じ膜厚でも入射光子のうち吸収される割合が上がります。前節の $N$ がそのまま増える、という直接的な経路です。

像を作る機構も変わります。HinsbergとMeyersは、金属酸化物レジストの結像を、拡散する触媒に代えて金属-酸素骨格の局所的な縮合として数値モデル化しています⁶6W. D. Hinsberg, S. Meyers, A numeric model for the imaging mechanism of metal oxide EUV resists (2017)。触媒が長い距離を歩く段が省かれるぶん、ぼけが短くなります。同じ材料系を塗布に代えて気相成膜で作るのがドライレジストで、膜厚と組成の均一性を成膜条件の側で選べます。

下層膜も確率的欠陥の密度を左右します。レジストの下から戻ってくる電子が膜の底の反応に加わるため、下層膜を重元素側へ振ると、レジスト底部の実効的な吸収が増えます。De Silvaらは高Z金属を使った下層膜でEUVの確率的な指標が改善すると報告しています⁷7A. De Silva ほか, High-Z metal-based underlayer patterning for improving EUV stochastics (2020)。下層膜は密着性も担い、細い線が現像中に倒れる確率を左右します。

壊れ方には名前がついている

確率的欠陥の名前は、分布の幅として計測する2つ（LERとLCDU）と、分布の裾として個数を数える3つに整列します。

確率的なCDばらつきと印刷失敗は同じ枠組みで数え上げられ、両者を分けて計上する必要があります⁸8P. De Bisschop, Stochastic effects in EUV lithography — random, local CD variability, and printing failures (2017)。上2つは分布の幅、下3つは分布の裾です。材料を変えたとき、幅と裾は別々の比率で動きます。Mackは、確率的な指標をスケーリングの軸として管理するための計量法を提案しています⁹9C. A. Mack, Metrics for stochastic scaling in EUV lithography (2019)。

RLSの三すくみと、四本目の軸

R（解像度）・L（ラフネス）・S（感度）が互いを引っ張り合う理由は、前節までの式ひとつで足ります。穴1個、あるいは線の1区間に届く光子数は

N =（線量）×（面積）×（単位線量あたりの光子密度）

• 解像度を上げる → 面積が縮む → N が減る
• 感度を上げる（線量を下げる）→ N が減る
• ラフネスは 1/√N なので、N が減ると悪化する

3つが同じ N を奪い合うので、2つを取れば3つ目が痛みます。同じ実験系でRLSのトレードオフとマイクロブリッジ欠陥の発生量が計測され、両者の関係が明らかになっています⁵。

裾は幅とは別の動きをするため、いまは確率的欠陥密度が4本目の軸として独立に管理されます。LERの3σ が同じ2つのレジストでも、欠陥密度が桁で異なる、ということが起こります。

線量・欠陥密度・生産枚数は同じ表で選ぶ

線量を上げれば N が増え、幅も裾も改善します。ただし改善の桁が、幅と裾で離れます。Mackは、確率的なばらつきを線量とともにスケールさせるための指標を提案しています⁹。

• 幅：$\sigma /N\propto 1/\sqrt{D}$（$D$ は線量）。線量を2倍にすると $3\sigma$ は 0.71倍、半分にするには4倍の線量が要ります。
• 裾：しきい値から平均が離れるほど、裾の確率は指数的に薄くなります。線量を2倍にすると失敗確率が桁で落ちることがあります。

一方、露光そのものに要する時間は線量に比例します。ウェーハ面に届くEUVパワーを一定とすると

露光時間 ∝ 線量 ÷ 光源パワー

なので、線量を2倍にすれば露光時間も2倍です。実機の1時間あたり枚数（wph）にはステージ移動やウェーハ交換の固定時間も含まれるため、低下は2倍よりは緩やかになります。

だからプロセスの線量は、確率的欠陥密度の許容値と1時間あたり枚数の目標を同じ表に載せ、その交点として選ばれます。レジスト開発が吸収率と電子のぼけに集中する理由も同じで、同じ線量でより多くの光子を捕まえられれば、この交点が生産側へ動きます。